Question

Uma caixa d’água é formada por uma casca cilíndrica de concreto como na Figura 1. Utilizando
a fórmula para o volume de um cilindro, explique por que o volume da casca é
V = πR²h − πr²h.

Fatore essa expressão para mostrar que

V = 2π × raio médio × altura × espessura.
Use o diagrama “desenrolado” para explicar por que essa expressão faz sentido geometricamente.

Answer 1

Perceba que a casca é formada por um cilindro maior de raio R e um cilindro menor interior de raio r.

Como o sólido é oco, então o volume da casca será igual ao volume do cilindro maior menos o volume do cilindro menor.

Sabemos que o volume de um cilindro é igual ao produto da área da base pela altura.

Portanto,

V = πR²h - πr²h.

Perceba que podemos colocar πh em evidência. Sendo assim:

V = πh(R² - r²).

A diferença de quadrados R² - r² é igual a (R + r)(R - r). Então:

V = πh(R + r)(R - r)

que é o mesmo que:

$V=2\pi\frac{R+r}{2}h(R-r)$

sendo que $\frac{R+r}{2}$ é o raio médio e R - r é a espessura.