Question

Uma caixa contém 6 lâmpadas de 40W, 3 de 60W, e 1 de 100W. Retiram-se 5 lâmpadas com reposição.
Qual a probabilidade de que:
a) Saiam 3 de 40W, 1 de 60W, e 1 de 100W?
b) Saiam 4 de 40W e 1 de 60W?
c) Não saia nenhuma de 60W?

Answer 1

Há 6 + 3 + 1 = 10 lâmpadas na caixa. 
Como o experimento é com reposição, temos: 

P(40W)   = 6/10 = 0,6 
P(60W)   = 3/10 = 0,3 
P(100W) = 1/10 = 0,1 

Repetições = 5 

Denotaremos aq P(E), a probabilidade de ocorrer o evento E. 

Denotarems aq B(p, r, n), a probabilidade de, em r repetições com reposição sucessivas, ocorrerm n sucessos e r - n fracassos (ou seja, exats n sucessos), sendo a probabilidad de sucesso dada por p. Esta é a definição de Distribuição de Probabilidad Binomial, dada por: 

B(p, r, n) = C(r, n) * (p ^ n) * [(1 - p) ^ (r - n)], 

Onde C(r, n) = r ! / n ! / (r - n) ! é o número de combinações de r elementos, tomados n a n. 

Evento a: Saiam 3 de 40W, 1 de 60W e 1 de 100W 
Sejm os events: 
X = Saia 40W em exatos 3 de 5 lancs 
Y = Saia 60W em apenas 1 dos 2 lancs restants 

P(a) = P(X) * P(Y) 

P(X) pode ser calculad pr B(P(40W); 5; 3): 
P(X) = C(5,3) * (P(40W))^3 * (1 - P(40W))^2 
P(X) = 10 * (0,6)^3 * (1 - 0,6)^2 = 10 * 0,03456 = 0,3456 

Para calcular P(Y), precisamos antes recalcular a probabilidade P(60W'), dado que P(40W') é zero nos dois lancs restants, conforme garantido no cálculo de P(X): 
P(60W') = 0,3 / (0,3 + 0,1) = 0,75 

Agora P(Y) pode ser calculada por B(P(60W'); 2; 1): 
P(Y) = C(2,1) * (P(60W'))^1 * (1 - P(60W'))^1 
P(Y) = 2 * 0,75 * 0,25 = 2 * 0,1875 = 0,375 

Podemos finalmente calcular P(a): 
P(a) = P(X) * P(Y) 
P(a) = 0,3456 * 0,375 
P(a) = 0,1296 = 12,96 % 


Evento b: Saiam 4 de 40W e 1 de 60W 

Sejam os eventos: 
Z = Saia 40W em exatos 4 de 5 lancs 
V = Saia 60W no lance restant

P(b) = P(Z) * P(V) 

De forma semelhante a P(X), P(Z) pode ser calculada por B(P(40W); 5; 4): 
P(X) = C(5,4) * (P(40W))^4 * (1 - P(40W))^1 
P(X) = 5 * (0,6)^4 * (1 - 0,6) = 5 * 0,05184 = 0,2592 

De forma semelhante a P(Y), P(V) pode ser calculada por B(P(60W'); 1; 1). 
Ou, mais simplesmente, P(W) = P(60W'), já que só resta um lance: 
P(V) = B(P(60W'); 1; 1) = P(60W') = 0,75 

Podemos agora calcular P(b): 
P(b) = P(Z) * P(V) 
P(b) = 0,2592 * 0,75 
P(b) = 0,1944 = 19,44 % 

Evento c: Não saia nenhuma de 60W 
A probabilidade de não sair 60W em 1 lançamento é 1 - P(60W) = 1 - 0,3 = 0,7 
Podemos calcular P(c) repetindo o evento [não 60W] cinco vezes: 
P(c) = (1 - P(60W))^5 = 0,7 ^ 5 = 0,16807 = 16,807 % 

Ou então, usando distribuição binomial: 
P(c) = B(P(60W); 5; 0) 
P(c) = C(5,0) * (P(60W))^0 * (1 - P(60W))^5 
P(c) = C(5,0) * (0,3)^0 * (0,7)^5 

Lembrando que C(5,0) = 5 ! / 0 ! / 5! e que 0 ! = 1, temos: 
P(c) = 1 * 0,16807 = 16,807 % 
Respostas Exatas

a) P(a) = 0,12960 = 12,960 % 
b) P(b) = 0,19440 = 19,440 % 
c) P(c) = 0,16807 = 16,807 % 
  
No seu gabarito, P(c) foi aproximada de 0,16807 para 0,1681 = 16,81%

Answer 2

Resposta:

a) 0,1256
b) 0,1944
c) 0,1681

Explicação passo a passo:

Vamos lá!
P(40 W) = $\frac{6}{10}$

P(60 W) = $\frac{3}{10}$

P(100 W) = $\frac{1}{10}$

Como possui reposição, temos:

item a) P(item A) = P(40 W) x P(40 W) x P(40 W) x P(60 W) x P(60 W) x Permutação( com repetição de 3 elementos)

P(item A) =    $\frac{6}{10}$ x $\frac{6}{10}$ x $\frac{6}{10}$ x $\frac{3}{10}$ x $\frac{1}{10}$ x  $\frac{5!}{3!}$ = 0,1256

item b)  P(item B) = P(40 W) x P(40 W) x P(40 W) x P(40 W) x P(60 W) x Permutação( com repetição de 3 elementos)

P(item B) =  $\frac{6}{10}$ x $\frac{6}{10}$ x $\frac{6}{10}$ x $\frac{6}{10}$  x $\frac{3}{10}$ x $\frac{5!}{4!}$ = 0,1944

item c) Se a probabilidade de sair uma lâmpada de 60 W é $\frac{3}{10}$, a de não sair uma de 60 W é o complementar a ela, sendo: P(não 60W) = 1 - $\frac{3}{10}$ = $\frac{7}{10}$.
Portanto: P(item C) = P(não 60W) x P(não 60W) x P(não 60W) x P(não 60W) x P(não 60W) x (permutação com repetição de 5)

P(item C) = $\frac{7}{10}$ x $\frac{7}{10}$ x $\frac{7}{10}$ x $\frac{7}{10}$ x $\frac{7}{10}$ x $\frac{5!}{5!}$ = 0,16807

Aproximadamente 0,1681