Question

Uma bola maciça, totalmente vedada, em formato de uma esfera perfeita, dediâmetro igual a  2 metros, foi lançada em uma piscina, de base retangular com dimensõesmedindo  5  metros e 12  metros e com água até a altura de 1,2  metros. Sabendo que a bolaficou completamente submersa pela água, quantos metros o nível da água se elevará?

Answer 1

De início, devemos definir o volume da esfera que é dado pela fórmula:

$\displaystyle V_{esfera} = \frac{ 4 \pi r }{ 3 }$

Como seu diâmetro vale 2 m, seu raio vale vale metade: 1 m.

$\displaystyle V_{esfera} = \frac{ 4 \cdot 1 \pi }{ 3 }$

$\displaystyle V_{esfera} = \frac{ 4 \pi }{ 3 } \, \, m^3$

Agora precisamos do volume da piscina que é expresso com o produto de suas dimensões:

$\displaystyle V_{piscina} = 5 \cdot 12 \cdot 1,2 \\ \quad \\ V_{piscina} = 60 \cdot 1,2 \\ \quad \\ V_{piscina} = 72 \, \, m^3$

No lançamento da esfera na piscina o volume dessa passa a ser outro valor. Esse valor pode ser definido somando-se o volume de ambos:

$\displaystyle V' = V_{piscina} + V_{esfera}$

$\displaystyle V' = 72 + \frac{ 4 \pi }{ 3 }$

$\displaystyle V' = \frac{ 216 }{ 3 } + \frac{ 4 \pi }{ 3 }$

$\displaystyle V' = \frac{ 216 + 4 \pi }{3 }$

$\displaystyle V' = \frac{4 \cdot (54 + \pi )}{ 3 }$

Com o novo volume V' da piscina, podemos identificar sua altura h atual multiplicando mais uma vez suas dimensões:

$\displaystyle 5 \cdot 12 \cdot h = \frac{4 \cdot (54 + \pi )}{ 3 }$

$\displaystyle 60h = \frac{4 \cdot (54 + \pi )}{ 3 }$

$\displaystyle h = \frac{4 \cdot (54 + \pi )}{ 3 } \cdot \frac{ 1 }{60}$

$\displaystyle h = \frac{ 54 + \pi }{ 45 }$

Já que procuramos o acréscimo x que houve na altura, devemos subtrair o valor acima pela antiga altura:

$\displaystyle x = \frac{ 54 + \pi }{ 45 } - 1,2$

$\displaystyle x = \frac{ 54 + \pi }{ 45 } - \frac{ 12 \div 2 }{ 10 \div 2 }$

$\displaystyle x = \frac{ 54 + \pi }{ 45 } - \frac{6}{5}$

$\displaystyle x = \frac{ 54 + \pi }{ 45 } - \frac{6 \cdot 9}{5 \cdot 9}$

$\displaystyle x = \frac{ 54 + \pi }{ 45 } - \frac{54}{45}$

$\displaystyle x = \frac{ 54 + \pi - 54}{ 45 }$

$\displaystyle x = \frac{ \pi }{ 45 } \, \, m^3$

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Answer 2

O nível da água se elevará π/45 m.

Para calcularmos a medida de elevação do nível da água, precisamos achar a medida de elevação de volume de água na piscina, ou seja, a variação de volume.

Quando a esfera for colocada na piscina, o volume aumentado será igual ao volume da esfera.

Então, precisamos calcular o volume da esfera.

A fórmula é:

V = 4·π·r³

         3

Como o diâmetro é de 2 m, o raio é 1 m (a metade). Logo:

V = 4·π·1³

         3

V = 4·π

       3

O comprimento e a largura da piscina não se alteram, apenas a altura da água.

Num paralelepípedo, o volume é dado por:

V = c·l·a

O comprimento é 12 m e a largura é 5 m. Logo:

V = 12·5·a

V = 60a

Como o volume é igual ao da esfera, temos:

4π = 60a

3

4π = 3.60a

4π = 180a

a = 4π

     180

a = π

     45

Portanto, a altura aumentou π/45 m.

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