Question

Uma bola é lançada no ar de uma plataforma que está 112 pés acima do nível do solo com uma velocidade vertical inicial de 32 pés por segundo. A altura da bola, em pés, pode ser representada pela função mostrada onde t é o tempo, em segundos, desde que a bola foi lançada.

h(t)=−16t2+32t+112

Qual das seguintes equações mostra a função reescrita na forma que seria melhor usada para identificar a altura máxima da bola?

h(t)=−16(t−2)2+112
h(t)=−16(t−1)2+80
h(t)=−16(t−1)2+96
h(t)=−16(t−1)2+128 ​

Answer 1

Por meio dos cálculos realizados, conseguimos chegar a conclusão de que a fatoração desta função que representa a altura, é: $\boxed{\bf h(t) = -16(t-1)^2 + 128}$.

Explicação

Temos a seguinte função:

$\: \:\:\:\: \: \: \:\:\:\:\:\: h(t) = - 16t {}^{2} + 32t + 112$

O objetivo da questão é basicamente fatorarmos esta expressão acima.

• Trinômio quadrado perfeito:

Para analisar se a expressão corresponde a um trinômio quadrado perfeito, basta ver se os números das extremidades possuem raiz exata.

$h(t) = -1.(16t^2-32t-112)\to\begin{cases}\bf \sqrt{16} = 4 \\ \bf\sqrt{-112} = \nexists \in\mathbb{R}\end{cases}$

• Observe que a raiz do número 12 resultou em um número que não é real, ou seja, não exato.

Quando um número não é um T.Q.P (Trinômio quadrado perfeito), não temos a capacidade de fatorar a expressão no formato $\bf (a+b)^n$, portanto temos que buscar uma outra forma.

• Identidade de Sophie-Germain:

A identidade de Sophie, é basicamente o método da soma zero, ou seja, podemos acrescentar termos a expressão para que a fatoração seja possível, mas ao mesmo tempo devemos subtrair para que a expressão não seja modificada.

• Primeiro vamos fatorar a expressão pelos métodos convencionais.

$\begin{cases}h(t) = - 16.t.t + 32t + 112 \\ h(t) = - 16t {}^{2} + 16.2t + 16.7 \\ h(t) = - 16.(t {}^{2} - 2t - 7) \end{cases}$

O termo que está dentro do parêntese é muito semelhante a um produto notável conhecido como o quadrado da diferença, sendo dado por:

$\:\:\:\:\: \: \:\:\:\:\: \: \: \: \boxed{\bf(a - b) ^{2} = a {}^{2} - 2ab + b {}^{2}}$

• Sendo esta expressão acima um T.Q.P, ou seja, as extremidades possuem raízes exatas.

Portanto, vamos tornar o número -7 possível de raiz exata, para isso basta fazer uma pequena modificação, isto é, encontrar uma soma através da soma zero, que tenha resultado -7.

$\begin{cases}h(t) = - 16(t {}^{2} - 2t - 7 + 8 - 8) \\h(t) = - 16(t {}^{2} - 2t + 1 - 8)\end{cases}$

Agora podemos fatorar esta expressão dentro do parêntese, uma vez que $\boxed{\bf (t-1)^2 = t^2 - 2t+1}$. Logo:

$\begin{cases}h(t) = - 16((t - 1) {}^{2} - 8) \: \\h(t) = - 16(t - 1) {}^{2} + 128\end{cases}$

Espero ter ajudado.

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Answer 2

A bola lançada para cima segue uma trajetória parabólica.

A equação que mostra a função reescrita na forma que seria melhor usada para identificar a altura máxima da bola é h( t ) = -16( t - 1 )² + 128.

A equação é dada como:

h( t ) = -16t² + 32t + 112

Fatorar -16:

h( t ) = -16( t² - 2t ) + 112

Expresse o colchete como uma expressão quadrada perfeita:

h( t ) = -16( t² - 2t + 1 - 1 ) + 112

Fatorar -4:

h( t ) = -16( t² - 2t + 1 ) + 112 + 16 * 1

h( t ) = -16( t² - 2t + 1 ) + 128

Expresse como um quadrado perfeito:

h( t ) = -16( t - 1 )² + 128

Portanto, a expressão equivalente é: h( t ) = -16( t - 1 )² + 128.

Opção D)