Question

Uma bola e lançada ao ar. Suponha que sua altura h, em metros, t segundos após o lançamento, seja h(t)=-t2+8t+10. calcule a altura máxima atingida pela bola e em que instante ela alcança esta altura

Answer 1

Analisando o gráfico de parabola da função do segundo grau, vemos que a altura maximo é de 26 metros, que é alcançada no instante 4s.

Explicação passo-a-passo:

Então a altura da bola é dada por:

h(t) = -t² + 8t + 10

Está é uma função do segundo grau, e sabemos que funções do segundo grau, formam o desenho de uma parabola no gráfico. Esta parabola em especifico tem a abertura (concavidade) voltada para baixo, ou o t² tem um valor negativo na frente, sendo assim se ela é uma parabola voltada para baixo, ela tem um ponto onde ela é maxima, que é o vertice da parabola, então podemos encontrar o x do vertice e o y do vertice que são dados pelas seguintes formulas:

$Xv=-\frac{b}{2a}$

$Yv=-\frac{\Delta}{4a}$

Onde nesta equação, a=-1, b=8 e c=10

Como queremos primeiro a altura maxima, então queremos primeiro o y do vertice:

$\Delta =b^2-4.a.c$

$\Delta =(8)^2-4.(-1).10$

$\Delta =64+40=104$

$Yv=-\frac{\Delta}{4a}$

$Yv=-\frac{104}{4.(-1)}$

$Yv=\frac{104}{4}$

$Yv=26$

Então a altura maxima é 26 metros. Agora o tempo onde isso acontece é o x do vertice:

$Xv=-\frac{b}{2a}$

$Xv=-\frac{8}{2(-1)}$

$Xv=\frac{8}{2}$

$Xv=4$

Então o instante em que ela passa pela altura maxima de 26 metros, é em 4 segundos.