Question

Uma bola é lançada verticalmente para cima, com velocidade inicial de 30 m/s. Despreze a resistência do ar e considere g = 10 m/s2. Determine
a) A altura máxima alcançada pela bola.
b) O tempo para a bola atingir a altura máxima.

Answer 1

A altura máxima da bola e o tempo para atingir essa altura é:

                             $\Large\displaystyle\begin{aligned}h_{m\'ax} &= \frac{v_0^2}{2g}\qquad &t &= \frac{v_0}{g}\\ \\h_{m\'ax} &= 45\text{ m} \qquad &t &= 3\text{ s}\end{aligned}$

Em um movimento uniformimente variado, temos ao todo 3 equações que descrevem esse movimento:

                                     $\Large\displaystyle\begin{aligned}v &= v_0 + at\\ \\S &= S_0 + v_0t + \frac{at^2}{2}\\ \\v^2 &= v_0^2 + 2a\Delta S\end{aligned}$

Podemos simplificar e renomear algumas coisas para facilitar a questão, como entamos jogando um objeto pra cima, a única aceleração que sofrerá será a da gravidade, portanto irei trocar a por g, e como o espaço dele será a altura, trocarei S por h:

                                     $\Large\displaystyle\begin{aligned}v &= v_0 -gt\\ \\h &= v_0t - \frac{gt^2}{2}\\ \\v^2 &= v_0^2 - 2gh\end{aligned}$

Essas são todas as equaçõs que descrevem um movimento vertical!

Agora que sabemos todas elas, vamos ao exercício de fato, sabemos que no ponto mais alto da trajetória a velocidade é nula, temos dois jeitos de achar as respostas.

Obs: irei fazer tudo sem números, irei colocar apenas no final.

1º Método

Utilizando a primeira equação e igualando ela a zero, descobrindo o tempo e então substituimos na segunda, então:

                                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}v &= v_0 -gt\\ \\0 &= v_0 -gt\\ \\gt &= v_0 \\ \\t &= \frac{v_0}{g}\\ \\\end{aligned}$

Agora substituindo na segunda fórmula:

                                       $\Large\displaystyle\text{ \begin{aligned}h_{m\'ax} &= v_0 t -\frac{gt^2}{2}\\ \\h_{m\'ax} &= v_0 \left(\frac{v_0}{g}\right) -\frac{g\left(\frac{v_0}{g}\right)^2}{2}\\ \\h_{m\'ax} &= \frac{v_0^2}{g} -\frac{g\frac{v_0^2}{g^2}}{2}\\ \\h_{m\'ax} &= \frac{v_0^2}{g} -\frac{\frac{v_0^2}{g}}{2}\\ \\h_{m\'ax} &= \frac{v_0^2}{g} - \frac{v_0^2}{2g}\\ \\h_{m\'ax} &= \frac{v_0^2}{2g} \\ \\\end{aligned} }$

A altura máxima e o tempo que ela leva para chegar até lá é:

                                 $\Large\displaystyle\begin{aligned}h_{m\'ax} = \frac{v_0^2}{2g} \qquad t = \frac{v_0}{g}\end{aligned}$

2º Método

Utilizando a terceira equação, podemos igualar a velocidade a zero e isolar a altura máxima novamente, para achar o tempo basta usar o mesmo método que utilizamos na primeira, porém note como achar a altura máxima fica bem mais fácil utilizando a terceira equação.

                             $\Large\displaystyle\begin{aligned}v^2 &= v_0^2 - 2gh_{m\'ax}\\ \\0&= v_0^2 - 2gh_{m\'ax}\\ \\2gh_{m\'ax} &= v_0^2\\ \\h_{m\'ax} &= \frac{v_0^2}{2g}\end{aligned}$

Aplicando os valores do enunciado nas fórmulas que descobrimos temos:                          

                           $\Large\displaystyle\begin{aligned}h_{m\'ax} &= \frac{v_0^2}{2g} \qquad &t &= \frac{v_0}{g}\\ \\h_{m\'ax} &= \frac{30^2}{2\cdot 10} \qquad &t &= \frac{30}{10}\\ \\h_{m\'ax} &= \frac{900}{20} \qquad &t &= 3\\ \\h_{m\'ax} &= 45 \qquad &t &= 3\end{aligned}$

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários.

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Answer 2

Explicação:

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Lembrando que:

$\boxed{v^{2} =v_{0}^{2} +2.a.\Delta s}$

$\boxed{v=v_{0} +a.t}$

a) Quando a bola atinge a altura máxima, a velocidade final é 0.

Temos que:

$v=0$

$v_{0}=30\ m/s$

$a=-g=-10\ m/s^{2}$

$\Delta s=h_{\text{m\'ax}}$

Calculando a altura máxima:

$0^{2} =30^{2}+2.(-10).h_{\text{m\'ax}} \\\\0=900-20.h_{\text{m\'ax}} \\\\20h_{\text{m\'ax}} =900\\\\h_{\text{m\'ax}} =\dfrac{900}{20}\\\\\boxed{\boxed{h_{\text{m\'ax}} =45\ m}}$

b)Temos que:

$v=0$

$v_{0}=30\ m/s$

$a=-g=-10\ m/s^{2}$

Calculando o tempo:

$0=30-10.t\\\\10t=30\\\\t=\dfrac{30}{10}\\\\\boxed{\boxed{t=3\ s}}$