Question

Uma bola é arremessada, do topo de um edifício de altura 2,0m, verticalmente para baixo com velocidade em módulo de 23,4m/s. No mesmo instante, uma outra bola é arremessada verticalmente para cima a partir do solo com velocidade inicial em módulo de 32,8m/s. Em qual instante, em segundos, as duas bolas estarão na mesma altura? Considere a resistência do ar nula e g=10 m/s2.

Answer 1

As bolas atingirão a mesma altura, aproximadamente no instante 0,035s.

Explicação:

Para resolvermos esse questão usaremos a função horária da posição adaptada para um lançamento vertical, tendo como base um MUV (Movimento Uniformemente Variado), visto que a aceleração é constante.

$\boxed{\mathsf{h(t) = h_{0} +v_{0} \cdot t \pm \dfrac{gt^{2}}{2}}}\\\\\\\mathsf{h(t) - altura~em~func_{\!\!,}\tilde{a}o~do~tempo}\\\mathsf{h_{0} - altura~inicial}\\\mathsf{v_{0} - velocidade~inicial}\\\mathsf{t - tempo}\\\mathsf{g - acelerac_{\!\!,}\tilde{a}o~da~gravidade}$

Primeiramente iremos encontrar a função da bola que foi lançada para baixo (vamos chama-la de bola 1), considerando que a velocidade e a aceleração da gravidade são negativas, visto que a bola está indo para baixo:

$\mathsf{h(t)_{1} = 2 - 23{,}4 \cdot t - \dfrac{10t^{2}}{2}}\\\\\mathsf{h(t)_{1} = 2 - 23{,}4 t -5t^{2}}$

Agora encontramos a função da bola que foi lançada para cima (bola 2), considerando a gravidade como negativa, visto, que ela irá desacelerar a bola:

$\mathsf{h(t)_{2} = 0 + 32{,}8 \cdot t - \dfrac{10t^{2}}{2}}\\\\\mathsf{h(t)_{2} = 32{,}8 t -5t^{2}}$

Para encontrar o momento em que as bolas atingirão a mesma altura, podemos estabelecer uma igualdade entre as funções:

$\mathsf{h(t)_{1} = h(t)_{2}}\\\mathsf{2 - 23{,}4 t -5t^{2} = 32{,}8 t -5t^{2}}\\\mathsf{-5t^{2}+5t^{2}-23{,}4t - 32{,}8t + 2 = 0}\\\mathsf{-56{,}2t + 2 = 0}\\\mathsf{-56{,}2t = -2}\\\\\mathsf{t = \dfrac{-2}{-56{,}2}}\\\\\mathsf{t \approx 0{,}035s}$

Espero ter ajudado :)