Question

Uma bola de futebol, ao ser chutada por um garoto, sai do solo com velocidade de 55,0m/s, formando um
ângulo de 60º acima da horizontal. Desprezando a resistência do ar
a) qual a velocidade da bola no ponto mais alto
da trajetória?
B) qual o alcance da bola?

Answer 1

Resposta:

O vetor que indica a velocidade faz um ângulo de 60º com a superfície.

Esse vetor da velocidade é dividido em duas componentes, a componente vertical $v_y$ e a componente horizontal $v_x$.

Como o problema sugere desprezar a resistência do ar, você precisa ter em mente duas coisas:

O movimento vertical da bola é uniformemente variado, isto por que temos aceleração da gravidade.

Equação da velocidade do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado:

$v=v_0\pm at$

O movimento horizontal da bola é uniforme, não possui aceleração e a velocidade é constante.

Equação da velocidade do Movimento Uniforme

$v=\dfrac{\triangle\text{s}}{\triangle\text{t}}$

Dito isso, vamos calcular as componentes da velocidade.

Com conceitos de trigonometria, é fácil observar que

$v_y=v\cdot \text{sen}\ \theta\\v_y=55\cdot \text{sen} \ 60^\circ\\v_y=55\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}\\v_y=\dfrac{55\sqrt3}{2} \ \text{m/s}$

$v_x=v\cdot \text{cos}\ \theta\\v_x=55\cdot \text{cos}\ 60^\circ\\\\v_x=55\cdot\dfrac{1}{2}\\\\v_x=\dfrac{55}{2} \ \text{m/s}$

Encontramos as componentes. Como explicado acima, $v_y$ possui aceleração e $v_x$ é constante. Ou seja, até o final do movimento $v_x=\dfrac{55}{2} \ \text{m/s}$(lembre que é para desprezar a resistência do ar e solo, pois a gente sabe que se na vida real a bola vai parar em algum momento, devido à resistência que sofre).

Analise a imagem, observe que o ponto mais alto é aquele em que a bola está na eminência de cair, isto é, a velocidade vertical diminui devido à aceleração da gravidade e chega a 0. O ponto mais alto é aquele onde $v_y=0$.

Então, respondendo a alternativa a), a velocidade no ponto mais alto é $v_x=\dfrac{55}{2} \ \text{m/s}^2$ e $v_y=0$.

O módulo dessa velocidade (vetor), seria,

$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}\\\\v=\sqrt{\left(\dfrac{55}{2}\right)^2+0^2}\\\\v=\sqrt{\dfrac{3025}{4}}\\\\v=\dfrac{\sqrt{3025}}{\sqrt{4}}\\\\v=\dfrac{55}{2}\ \text{m/s}$

Se quiser resolver a fração, $v=27,5\ \text{m/s}$

B) Qual o alcance da bola?

Para calcular o alcance horizontal, temos a fórmula,

$\triangle\text{S}=\dfrac{v_0^2\ \text{sen}\ 2\theta}{g}$

Considerando $g=9,8\ \text{m/s}^2$, temos

$\triangle\text{S}=\dfrac{55^2\ \text{sen}\ (2\cdot60)}{9,8}$

$\triangle\text{S}=\dfrac{3025\ \text{sen}\ 120}{9,8}\\\\\\\triangle\text{S}=\dfrac{3025\cdot 0,87}{9,8}\\\\\\\triangle\text{S}=\dfrac{2631,75}{9,8}\\\\\triangle\text{S}=268\ \text{m}$