Question

Uma bola de 0,5 kg é solta a partir do repouso 1,0 m acima da base da pista conforme a figura. Ela desce um trecho com 30° de inclinação, depois atinge outro trecho parabólico cuja forma é dada por y=0,25x3, onde x e y estão em metros. Desconsidere o atrito.
a. Qual é o valor da energia cinética da bola no ponto mais baixo do trecho?
b. Qual é altura y que bola atingirá do lado direito da pista antes de inverter seu movimento e começar a retornar e a que distância em x do ponto O ela estará?
c. Qual é sua energia cinética quando a bola atinge uma altura de 0,5 m do lado direito da pista e em que distância em x do ponto O ela estará?

Answer 1

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$\rm\large\green{\boxed{~~~\red{ a)}~\orange{v_f}~\pink{\approx}~\blue{ 4,47~[m/s] }~~~}}$

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$\rm\large\green{\boxed{~~~\red{ b)}~\orange{h_{max}}~\pink{=}~\blue{ 1~[m] }~\green{e}~\orange{x_{max}}~\pink{\approx}~\blue{ 1,59~[m] }~~~}}$

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$\rm\large\green{\boxed{~~~\red{ c)}~\orange{v_f}~\pink{\approx}~\blue{ 3,16~[m/s] }~~~}}$

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$\bf\large\green{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad}}$

$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, Paulo, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo, feita através de algumas manipulações algébricas. ✌

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Ⓐ$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ Pela lei da conservação da energia mecânica temos que, para este problema, a energia potencial no momento inicial será totalmente convertida em energia cinética no momento final.

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☔Temos que e equação para a Energia Potencial Gravitacional é

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{ E_{potg} = m \cdot g \cdot h } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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➡ m sendo a massa do objeto [Kg]

➡ g sendo a aceleração da gravidade [m/s²]

➡ h sendo a altura do objeto [m]

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☔Temos que e equação para a Energia cinética é

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$\rm\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl} & & \\ & \orange{ E_{cin} = \dfrac{m \cdot v^2}{2} } & \\ & & \\ \end{array}}}}}$

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➡ m sendo a massa do objeto [Kg]

➡ v sendo a velocidade do objeto [m/s]

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☔Pelo princípio da conservação da energia mecânica, temos que

$\pink{\boxed{\sf\large\blue{\begin{array}{rcl} & & \\ & E_{mec_i} = E_{mec_f} & \\\\ & & \\ & E_{pot_i} + E_{cin_i} = E_{pot_f} + E_{cin_f} & \\\\ & & \\ & m \cdot g \cdot h_i + \dfrac{m \cdot v_i^2}{2} =  m \cdot g \cdot h_f +  \dfrac{m \cdot v_f^2}{2} & \\\\ & & \\ & g \cdot h_i + \dfrac{v_i^2}{2} =  g \cdot h_f +  \dfrac{v_f^2}{2} & \\\\ & & \\ & 2 \cdot g \cdot h_i + v_i^2 =  2 \cdot g \cdot h_f +  v_f^2 & \\ & & \\ \end{array}}}}$

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☔ Quem são os nossos valores conhecidos?

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➡ $\sf\large\blue{g = 10~[m/s^2]}$

➡ $\sf\large\blue{h_i = 1~[m]}$

➡ $\sf\large\blue{v_i = 0~[m/s]}$

➡ $\sf\large\blue{h_f = 0~[m]}$

➡ $\sf\large\blue{v_f = x~[m/s]}$

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☔Portanto temos que

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$\sf\large\blue{2 \cdot 10 \cdot 1 + 0^2 = 2 \cdot 10 \cdot 0 + v_f^2}$

$\sf\large\blue{20 + 0 =  0 + v_f^2}$

$\sf\large\blue{v_f = \sqrt{20 + 0 - 0}}$

$\sf\large\blue{v_f = \sqrt{20}~[m/s]}$

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$\rm\large\green{\boxed{~~~\red{ a)}~\orange{v_f}~\pink{\approx}~\blue{ 4,47~[m/s] }~~~}}$  ✅

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Ⓑ$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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☔ Assim como observado no item anterior, por serem forças conservativas (ou seja, o trajeto percorrido não importa mas sim a diferença da altura inicial para a final) então sabemos que a altura máxima atingida no lado direito será, pela lei da conservação da energia mecânica, exatamente a mesma da energia potencial inicial.

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➡ $\sf\large\blue{ h_{max} = 1,0~[m] }$

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☔ Para encontrarmos a distância em x de O (que é o vértice da parábola) até o ponto de altura máxima basta substituirmos o valor de y por 1 na equação da parábola para encontrarmos o valor de x no ponto (x, 1) que é o ponto onde a bola irá parar a subida e começar a descer.

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➡ $\sf\large\blue{ 1 = 0,25 \cdot x^3 }$

➡ $\sf\large\blue{ \dfrac{1}{0,25} = x^3 }$

➡ $\sf\large\blue{ x^3 = 4 }$

➡ $\sf\large\blue{ x = \sqrt[3]{4}}$

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$\rm\large\green{\boxed{~~~\red{ b)}~\orange{h_{max}}~\pink{=}~\blue{ 1~[m] }~\green{e}~\orange{x_{max}}~\pink{\approx}~\blue{ 1,59~[m] }~~~}}$ ✅

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Ⓒ$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}}$✍

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➡ $\sf\large\blue{ 2 \cdot 10 \cdot 0 + (\sqrt{20})^2 =  2 \cdot 10 \cdot 0,5 +  v_f^2 }$

➡ $\sf\large\blue{ 20 =  10 +  v_f^2 }$

➡ $\sf\large\blue{ v_f = \sqrt{10}~[m/s] }$

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$\rm\large\green{\boxed{~~~\red{ c)}~\orange{v_f}~\pink{\approx}~\blue{ 3,16~[m/s] }~~~}}$ ✅

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$\bf\large\red{\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}}$☁

☕ $\bf\large\blue{Bons\ estudos.}$

($\orange{D\acute{u}vidas\ nos\ coment\acute{a}rios}$) ☄

$\bf\large\red{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad }}\LaTeX$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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$\large\textit{"Absque~sudore~et~labore}$

$\large\textit{nullum~opus~perfectum~est."}$