Question

Uma bola colocada no chão é chutada para o alto, percorre uma trajetória descrita por y=2×2+24, onde y é a altura e x é o alcance em metros, está representado no gráfico abaixo . Nessas condições, a altura máxima atingida pela bola é

Answer 1

Após a realização dos cálculos, podemos concluir que a altura máxima atingida pela bola é de 24 m

Função quadrática

Chama-se função quadrática a toda função $\sf f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ definida por

onde $\sf f(x)=ax^2+bx+c,a\ne0$.

o gráfico de uma função quadrática é uma curva que chamamos de parábola. A concavidade da parábola depende do sinal do termo a

assim:

$\sf a>0\longrightarrow$ concavidade para cima

$\sf a<0\longrightarrow$ concavidade para baixo

A função quadrática apresenta máximo ou mínimo nas coordenadas do eixo de simetria ou vértice . As coordenadas do vértice é o ponto

$\sf V(x_V,y_V)$ tal que

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf x_V=-\dfrac{b}{2a} \\\\\sf y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}\\\\\sf \Delta=b^2-4ac\end{array}}$

Em geral, se $\sf a>0$ temos  ponto de mínimo e valor mínimo

e se $\sf a<0$  temos ponto de máximo e valor máximo.

As raízes ou zeros da função podem ser definidos como os valores de x que tornam a imagem nula. Para encontrar as raízes basta fazer f(x)=0 e resolver a equação do 2º grau proposta.

As raízes dependem do sinal do discriminante $\Delta$

e podemos fazer a seguinte consideração:

• $\sf\Delta>0\longrightarrow$ a função tem duas raízes reais  diferentes e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos.
• $\sf\Delta=0\longrightarrow$ a função possui uma única raíz real e a parábola tangencia o eixo x.
• $\sf\Delta<0\longrightarrow$ a função não possui raízes e parábola não intercepta o eixo x.

A parábola também tem intersecção com o eixo y e esta passa no termo independente da função.

Vamos a resolução da questão

Perceba que em $\sf y=-2x^2+24$   $\sf a=-2<0$ isso significa que ele atinge um valor máximo  e para descobrir qual é este máximo, calcularemos o discriminante e em seguida obteremos o $\sf y_V$  que será exatamente o ponto de máximo.

$\Large\boxed{\begin{array}{l}\sf y=-2x^2+24\\\sf\Delta=b^2-4ac\\\sf\Delta=0^2-4\cdot(-2)\cdot24\\\sf\Delta=192\\\sf y_V=-\dfrac{\Delta}{4a}\\\\\sf y_V=-\dfrac{192}{4\cdot(-2)}\\\\\sf y_V=24\end{array}}$

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