Question

Uma bola, ao ser chutada num tiro de meta por um goleiro, numa partida de futebol, teve sua trajetória descrita pela função h(t) = – 2t² + 8t (t ≥ 0) , onde t é o tempo medido em segundo e h(t) é a altura em metros da bola no instante t. É correto afirmar que, após o chute, a altura máxima atingida pela bola foi: *

a) 7 metros
b) 8 metros
c) 9 metros
d) 10 metros
e) 12 metros

Answer 1

Uma bola que chutada teve a trajetória dada por: h(t) = – 2t² + 8t, onde t é o tempo em segundos (somente positivo, t ≥ 0), e h é a altura em metros que a bola atinge no instante t

ㅤ

É sabido que o vértice de uma parábola pode ser ponto de máximo absoluto (maior valor da função), ou ponto de mínimo absoluto (menor valor da função). Como não temos o gráfico em mãos, podemos determinar se o ponto é de máximo ou de mínimo através do coeficiente " a ". Como na função tem-se a = – 2, então a < 0 (concavidade para baixo), assim a função tem o ponto de máximo absoluto

ㅤ

Dessa forma, o ponto de máximo será a altura máxima em que a bola vai atingir após ser chutada. Para calcular essa altura vamos encontrar a função na forma de vértice:

$\begin{array}{l}\sf f(x)=a(x-x_v)^2+y_v\\\\\end{array}$

• Perceba que o coeficiente a é o fator comum de x menos xv ao quadrado => é o x do vértice, e estão somados ao yv => é o y do vértice

Queremos somente o valor do yv pois ele que vai nos dizer qual a altura máxima da bola. Se a função tivesse ponto de mínimo absoluto iriamos querer o xv. Assim:

$\begin{array}{l}\sf h(t)=-2t^2+8t\\\\\sf h(t)=-2(t^2-4t)\end{array}$

Para que o t² – 4t se torne em um trinômio perfeito, para assim se tornar um quadrado perfeito, basta adicionar a 4, pois assim t² – 4t + 4 => (t)² – 2(2)(t) + (2)² => (t – 2)²

• Obs.: lembre de adicionar em ambos os membros, levando em conta que a expressão está sendo multiplicada pelo -2

$\begin{array}{l}\sf h(t)-2(4)=-2(t^2-4t+4)\\\\\sf h(t)-8=-2(t-2)^2\\\\\sf h(t)-8+8=-2(t-2)^2+8\\\\\sf h(t)=-2(t-2)^2+8\end{array}$

Perceba que xv = –2 e yv = 8

Como dito anteriormente, queríamos o yv , seu valor é 8, logo a altura máxima que a bola atinge é de 8 metros

RESPOSTA: Letra B)

ㅤ

Att. Nasgovaskov