Question

Uma bobina é ligada em série a um resistor de 10 kW. Quando uma bateria de 50 V é colocada no circuito, a corrente atinge um valor de 2,0 mA após 5,0 ms. Determine a indutância da bobina.

Answer 1

Boa noite!

A corrente que circula em um circuito RL (resistor-indutor) em função do tempo é dada pela seguinte expressão:

$i(t)=\frac{\epsilon}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)$

onde

$\epsilon$ é a força eletromotriz fornecida pela bateria
$R$ é a resistência do circuito
$L$ é a indutância do circuito

Vou supor que a resistência do resistor é 10 kΩ (você colocou a unidade em Watts, que é unidade de potência; se tivéssemos apenas uma valor de potência para o resistor, não seria possível resolver o problema). A força eletromotriz aplicada é de 50 V. Dessa forma, no instante t=5 ms, quando a corrente é 2 mA, temos:

$i(t)=\frac{\epsilon}{R}\left(1-e^{-\frac{R}{L}t}\right)$
$2\cdot{10}^{-3}=\frac{50}{10\cdot{10}^3}\left(1-e^{-\frac{10\cdot{10}^3}{L}5\cdot{10}^{-3}}\right)$
$\frac{2\cdot{10}^{-3}\cdot{10\cdot{10}^3}}{50}=1-e^{-\frac{50}{L}}$
$\frac{20}{50}-1=-e^{-\frac{50}{L}}$
$-0,6=-e^{-\frac{50}{L}}$
$0,6=e^{-\frac{50}{L}}$

Aqui, calculamos o logaritmo natural nos dois lados da equação, o que nos dá:

$\text{ln}(0,6)=\text{ln}\left(e^{-\frac{50}{L}}\right)$
$-0,5108=-\frac{50}{L}$
$0,5108=\frac{50}{L}$
$0,5108L=50$
$L=\frac{50}{0,5108}$
$L=97,89\,H$

Portanto, a indutância da bobina é de 97,89 H.