Question

Uma barra tem uma ponta presa na origem do sistema de coordenadas cartesiano e em outra ponta, solta, está na posição L=3j metros (na forma vetorial). Qual é o torque exercido pela força F=2i+j Newtons aplicada nessa ponta solta ?

Answer 1

É bem simples,

$T = F.d.Sen( \alpha )$

Onde, α é o angulo entre o vetor F e d

Como,

$\\ Cos(a) = \frac{F.d}{|F|.|d|} \\ \\ = \frac{(2,1).(0,3)}{ \sqrt{2^2+1^2} . \sqrt{0^2+3^2} } \\ \\ = \frac{2(0)+1(3)}{ \sqrt{5} . \sqrt{9} } \\ \\ = \frac{3}{3 \sqrt{5} } \\ \\ = \frac{1}{ \sqrt{5} } \\ \\ ArcCos(Cos \alpha ) = ArcCos(\frac{1}{ \sqrt{5} } ) \\ \\ \alpha = 63,43 graus$

Então,

$\\T = |F|.|d|.Sen(63,43) \\ \\ = \sqrt{2^2+1} . \sqrt{0^2+3^2} .Sen(63,43) \\ \\ = 3\sqrt{5} Sen(63,43) \\ \\ = 6N.m$

O direção do torque seria na direção do eixo z, em sentido negativo

Ou seja, - K

O produto vetorial dará o sentido ou utilize a regra da mão direita

Answer 2

$\boxed{\tau=\vec{r}\times\vec{F}}$
Logo:
$\vec{r}=3\hat{j}=\vec{L}$
e
$\vec{F}=2\hat{i}+\hat{j}$
O torque é o produto vetorial de r por F (a componente k é o torque):
$\displaystyle \vec{\tau}=\vec{r}\times\vec{F}\\\\\vec\tau=\det \left[\begin{array}{ccc}\hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\0&3&0\\2&1&0\end{array}\right] =\hat{i} \left|\begin{array}{cc}3&0\\1&0\end{array}\right|-\hat{j}\left|\begin{array}{cc}0&0\\2&0\end{array}\right|+\hat{k}\left|\begin{array}{cc}0&3\\2&1\end{array}\right|\\\\\vec{\tau}=\hat{i}(3\cdot0-1\cdot0)+\hat{j}(0\cdot0-0\cdot2)+\hat{k}(0\cdot1-3\cdot2)=\hat{i}(0)-\hat{j}(0)+\hat{k}(-6)\\\vec\tau=0\hat{i}-0\hat{j}-6\hat{k}\\\boxed{\vec\tau=-6\hat{k}}$
Encontramos o resultado!