Question

Uma barra fina e homogênea, de massa M, é suspensa horizontalmente por dois fios verticais. Um dos fios prende-se à extremidade esquerda da barra, e o outro fio dista 2/3 do comprimento da barra, de sua extremidade esquerda. (a) Determine a tração em cada fio. (b) Um objeto é, agora, pendurado por um cordão preso à extremidade direita da barra. Quando isto acontece, percebe-se que a barra se mantém na horizontal, mas a tração no fio da esquerda desaparece. Determine a massa do objeto.

R: a) Te=Mg/4; Td=3Mg/4;
b) m=M/2

Answer 1

Uma vez que o sistema está em equilíbrio, devemos verificar o equilíbrio quer das forças, quer dos torques.

(a) As forças que atuam a barra são o seu próprio peso $Mg$, a tensão do fio da esquerda $T_e$ e a tensão do fio da direita $T_d$. Atendendo a que as tensões estão dirigidas para cima e o peso para baixo, o equilíbrio das forças é dado pela expressão:

$T_e + T_d = Mg.$

Por outro lado, o torque resultante também se deve anular. Calculemos o torque em torno do ponto médio da barra, que coincide com o seu centro de massa, uma vez que a barra é homogénea. Uma vez que este é o ponto de aplicação do peso, o torque a ele associado é nulo, pelo que apenas existe contribuição dos torques associados às tensões dos fios esquerdo ($\tau_e$) e direito ($\tau_d$). Assim, o equilíbrio dos torques é traduzido pela expressão:

$\tau_e + \tau_d = 0.$

Consideremos agora o sentido contrário aos ponteiros do relógio como positivo. Designando por $\ell$ o comprimento da barra, notamos que a tensão do fio direito está aplicada uma distância igual a $\ell/2$ e a tensão do fio esquerdo está aplicada a uma distância igual a $\ell/6$ relativamente ao ponto médio. Assim, os torques são dados por:

$\tau_e = -T_e \times \dfrac{\ell}{2};\\\tau_d = T_d \times \dfrac{\ell}{6}.$

Do equilíbrio de torques, vem:

$\tau_e + \tau_d = 0 \iff -T_e \times \dfrac{\ell}{2} + T_d \times \dfrac{\ell}{6} = 0 \iff \dfrac{T_e}{2} = \dfrac{T_d}{6} \iff T_d = 3 T_e.$

Do equilíbrio das forças, vem:

$T_e + T_d = Mg \iff T_e + 3T_e = Mg \iff Mg = 4T_e \iff T_e = \dfrac{Mg}{4}.$

Retomando a expressão anterior, obtemos ainda:

$T_d = 3T_e = \dfrac{3Mg}{4}.$

(b) Nesta situação, a tensão do fio da esquerda anula-se e surge uma nova força correspondente ao peso $mg$ do objeto. Uma vez que a tensão do fio da direita aponta para cima e os pesos para baixo, o equilíbrio das forças é dado pela expressão:

$T_d = Mg + mg.$

Consideremos de novo a convenção dos sentido dos ponteiros do relógio e calculemos o torque em torno do centro de massa da barra. Notando que o ponto de aplicação do peso do objeto se situa a uma distância igual a $\ell/2$ desse ponto, tem-se o toque associado:

$\tau_m = -mg\times\dfrac{\ell}{2}.$

O torque associado ao fio da direita é igual ao do caso anterior. Assim, o equilíbrio de torques é dado por:

$\tau_m + \tau_d = 0 \iff -mg\times\dfrac{\ell}{2} + T_d \times \dfrac{\ell}{6} = 0 \iff \dfrac{mg}{2} = \dfrac{T_d}{6} \iff T_d = 3mg.$

Substituindo no equilíbrio das forças, tem-se:

$T_d = Mg + mg \iff 3mg = Mg + mg \iff M = 2m \iff m = \dfrac{M}{2}.$