Question

Uma barra de cobre, cujo coeficiente da dilatação linear é de 17.10^-6, tem comprimento 200 cm a temperatura de 50C°. Calcule o comprimento dessa barra a temperatura de 450C°

Answer 1

O comprimento dessa barra de cobre, a 450 °C, é de 2,0136 m.

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Cálculo

A dilatação linear (variação de comprimento) é proporcional ao produto do comprimento inicial pelo coeficiente de dilatação linear pela variação de temperatura, tal como a equação I abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta L = L_0 \cdot \Huge \alpha\cdot \LARGE \sf \Delta T } ~\\\ \end{array}}}} \Large ~ ~ ~ \textsf{(equac{\!\!,}{\~a}o I)}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta L \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ do ~ comprimento ~(em ~ m)$

$\large \sf L_0 \Rightarrow comprimento ~ inicial ~ (em ~ m)$

$\sf \Large \alpha~\large \sf \Rightarrow coeficiente ~de ~ dilatac{\!\!,}\tilde{a}o ~ linear ~ (em ~ ^\circ C^\textsf{-1})$

$\large \sf \Delta T \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ de ~ temperatura ~ (em ~^\circ C)$

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De modo análogo, também sabemos, de acordo com os estudos em dilatação térmica, que a variação de comprimento é proporcional ao módulo da diferença entre o comprimento final e o comprimento inicial, tal como a equação II abaixo:

$\quad \LARGE {\boxed{\boxed{\begin{array}{lcr} \\\ {\sf \Delta L = L_F -L_0} ~\\\ \end{array}}}} \Large ~ ~ ~ \textsf{(equac{\!\!,}{\~a}o II)}$

$\large \textsf{Onde:}$

$\large \sf \Delta L \Rightarrow variac{\!\!,}\tilde{a}o ~ do ~ comprimento ~(em ~ m)$

$\large \sf L_F \Rightarrow comprimento ~ final ~ (em ~ m)$

$\large \sf L_0 \Rightarrow comprimento ~ inicial ~ (em ~ m)$

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Aplicação

Calculando a dilatação linear

Sabe-se, conforme o enunciado:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{? m} \\\sf L_0 = \textsf{200 cm} = 2~m\\\sf \Huge \alpha = \LARGE \textsf{17} \cdot \textsf{10}^\textsf{-6 } {^\circ C}^\textsf{-1} \\\sf \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 450 - 50 = 400 \; ^\circ C \\ \end{cases}$

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Assim, tem-se que:
$\Large \sf \Delta L = 2 \left[m\right] \cdot 17 \cdot 10^\textsf{-6} \left[^\circ C^\textsf{-1}\right] \cdot 400 \left[^\circ C\right]$

$\Large \sf \Delta L = 13600 \cdot 10^\textsf{-6} \left[m\right]\cdot \! \left[\dfrac{1}{~\diagup\!\!\!\!\!\!\! ^\circ C~\!}\right] \cdot ~\diagup\!\!\!\!\!\!\!\! \left[^\circ C\right]$

$\boxed {\boxed {\Large \sf \Delta L = \textsf{1,36} \cdot 10^\textsf{-2} \left[m\right]}}$

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Calculando o comprimento final

Sabe-se, de acordo com o enunciado:

$\LARGE \sf \displaystyle \rightarrow \begin{cases} \sf \Delta L = \textsf{0,0136 m} \\ \sf L_F = \textsf{? m}\\ \sf L_0 = \textsf{200 cm} = 2~m \\ \end{cases}$

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Assim, tem-se que:
$\Large \sf \textsf{0,0136} \left[m\right] = L_F - 2 \left[m\right]$

$\Large \sf L_F = 2 \left[m\right] +\textsf{0,0136} \left[m\right]$

$\boxed {\boxed {\Large \sf L_F = \textsf{2,0136} \left[m\right] }}$

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