Question

Uma barra de 6mm de diâmetro e 200mm de comprimento é carregada axialmente por força de tração de 3,5KN. O aumento em comprimento e a redução em diametro da barra são medidos em 0,13mm e 0,0013mm, respectivamente. Calcule o modulo de elasticidade e o coeficiente de Poisson v do material.

Answer 1

Resposta:

$E=190,4~\text{GPa}\\\nu=0,333$

Explicação:

Inicialmente, vamos reler o enunciado e anotar os dados importantes:

• Diâmetro da Barra: D = 6 mm = 6 × 10⁻³ m = 0,006 m
• Comprimento inicial da Barra: L = 200 mm
• Força aplicada: F = 3,5 kN = 3500 N
• Deformação linear: ΔL = 0,13 mm
• Deformação no diâmetro: ΔD = -0,0013 mm

    Repare no sinal da redução do diâmetro. É negativo porque diminuiu.

    Para calcular o módulo de Elasticidade (E), utilizamos a Lei de Hooke para uma dimensão:

              $\boxed{\sigma = E\cdot \varepsilon}$

E lembramos que a tensão normal é calculada como: $\sigma = \dfrac{F}{A}$ , onde A é a área da seção.

Vamos calcular inicialmente a tensão normal, lembrando que a área da seção da barra é um círculo:

$\sigma = \dfrac{F}{A}\\\\\sigma=\dfrac{F}{\frac{\pi D^2}{4}} = \dfrac{3500~N}{\frac{\pi\cdot(0,006~m)^2}{4}}\\\\\\ \underline{\sigma = 123,8~~\text{MPa}}$

Mas na calculadora gravamos todos os números para usarmos depois.

Calculamos ε, que é definido por: ε = ΔL/L

$\varepsilon = \dfrac{\Delta L}{L}\\\\\varepsilon = \dfrac{0,13~mm}{200~mm}\\\\ \underline{\varepsilon=6,5\times10^{-4}}$

Agora calculamos o módulo de elasticidade longitudinal E, isolando na Lei de Hooke:

$E=\dfrac{\sigma}{\varepsilon}\\\\E =\dfrac{123,8~\text{MPa}}{6,5\times10^{-4}}\\\\\\ \boxed{E=190,4~\text{GPa}}$

Este é um resultado razoável para um metal de engenharia, então seguimos em frente e calculamos o coeficiente de Poisson.

Definimos o coeficiente de Poisson(ν) como:

$\nu = -\dfrac{\varepsilon_x}{\varepsilon_z}$

Já calculamos $\varepsilon_x$ , que é na direção da aplicação da força. Calculamos $\varepsilon_z$ de modo análogo, mas usando o diâmetro.

$\varepsilon_z = \dfrac{\Delta D}{D}\\\\ \varepsilon_z=\dfrac{-0,0013~mm}{6~mm}\\\\ \underline{\varepsilon_z=-2,17\times10^{-4}}$

Agora calculamos o coeficiente de Poisson:

$\nu=-\dfrac{\varepsilon_z}{\varepsilon_x}\\\\ \nu=-\dfrac{-2,17\times10^{-4}}{6,5\times10^{-4}}\\\\ \boxed{\nu=0,333}$