Question

Uma banda deseja produzir panfletos para divulgar seu próximo show. A gráfica oferece uma folha de 10 cm x 6 cm, mas exige que a arte seja feita dentro de uma margem de impressão que será cortada. O valor retirado dos lados maiores pode ou não ser igual ao valor retirado dos lados menores. Sabe-se que a gráfica cobra 0,50 centavos por cm2 impresso de arte e que o perímetro total dela, ao fim, deve ser 28 cm.


Qual o valor pago pela maior área impressa possível de panfleto?

Answer 1

Sabemos que a arte será uma figura retangular de perímetro 28. Suponha que a largura desse retângulo seja x e a altura y. O perímetro usando essas medidas é:

2x + 2y = 28

2(x + y) = 28

x + y = 14

Precisamos calcular a área máxima desse retângulo sabendo que a soma de suas medidas é igual a 14. Primeiro, vamos escrever a variável y em função de x.

y = 14 - x

A área do panfleto é dada por x.y, sabendo que y = 14 - x, temos:

A = x(14 - x)

A = - x² - 14x.

A área é dada por uma equação do 2º grau, para encontrar o máximo precisamos apenas de verificar qual o y do vértice dessa parábola.

$y_v = -\dfrac{\Delta}{4a}$

Vamos calcular o delta separadamente.

$\Delta = (-14)^2 - 4.1.0\\\Delta = 196$

E assim a área máxima será:

$A_{max} = y_v = \dfrac{-196}{4(-1)} = \dfrac{-196}{-4} = 49$

A área máxima é 49 cm², com cada cm² custando 50 centavos, o preço a ser pago pela maior área impressa é:

49 x 0,5 = 24,5

Ou seja, R$24,50

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