Question

Uma balsa utilizada na travessia de veículos e pessoas
para uma ilha se move com velocidade constante de 8 m/s
durante 60 s. Em seguida seus motores são desligados e

ela começa a manobra de acostamento. Sua velocidade de
acostamento pode ser expressa por

2 2
0 1
v = v t /t
, onde t1
= 60 s. Qual é o deslocamento da balsa durante o intervalo
0 < t < ∞?

Answer 1

A balsa percorreu no total 960 metros em todo o trajeto.

A fórmula da velocidade é:

$v(t) = \frac{v_o*t_1^2}{t^2}$

Para um tempo t1 = 60s e uma velocidade antes da balsa iniciar o acostamento de Vo = 8 m/s, teremos:

$v(t) = \frac{8*60^2}{t^2} = \frac{28800}{t^2}$

Do estudo da Mecânica Clássica sabemos que o deslocamento pode ser calculado através de uma integral definida da velocidade do móvel. Em outras palavras:

$d = \int\limits^a_b {v(t)} \, dt$

, sendo b o ponto inicial e a o ponto final desse deslocamento.

Tomando o intervalo 0 < t < ∞, teremos:

$d = \int\limits^{\infty}_0 {v(t)} \, dt$

Substituindo a fórmula da velocidade que deduzimos anteriormente:

$d = \int\limits^{\infty}_0 {\frac{28800}{t^2} } \, dt = \int\limits^{\infty}_0 {28800t^{-2} } \, dt = 28800\int\limits^{\infty}_0 {t^{-2}} } \, dt\\\\d = 28800*(-\frac{1}{t})^{\infty}_0$

É importante entendermos que essa função v(t) é válida apenas a partir do momento em que a balsa está começando o acostamento, ou seja, apenas para t > 60s. Logo podemos mudar o limite inferior da nossa integral:

$d = 28800*(-\frac{1}{t})^{\infty}_{60}$

Quando t tender a ∞ então 1/t tenderá a 0. E quando t tender a 60s basta substituir diretamente. Ou seja:

$d = 28800*(-\frac{1}{t})^{\infty}_{60} = 28800*(-0 + \frac{1}{60} ) = 28800/60 = 480m$

Agora vamos calcular o deslocamento no intervalo 0 < t < 60s. Nesse trecho a balsa realiza movimento uniforme com velocidade constante de 8 m/s. Deste modo:

$v_o = \frac{D}{t_1} \\\\8 = \frac{D}{60} \\D = 8*60 = 480m$

Logo, a distância total percorrida será:

$d_{total} = d + D = 480 + 480 = 960m$

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