Question

Uma bala é atirada de uma arma no nível do solo, com uma velocidade inicial de 20m/s fazendo um ângulo de 30° com a horizontal. Encontre:
a) O Vetor que representa a posição da bala em função do tempo. B) O vetor velocidade da bala em função do tempo e o módulo da velocidade em = 2. C) O alcance horizontal atingido pela bala

Answer 1

a) A fórmula genérica da posição em função do tempo é:

$S(t) = S_o + v_ot + \frac{at^2}{2}$

Como a bala é atirada do nível do solo, podemos considerar o nível do solo como origem da bala, então:

$S_{ox} = 0\\\\S_{oy} = 0$

No caso desta bala, como ela é atirada a 30º, ela vai ter uma velocidade horizontal e uma vertical. Se você desenhar o vetor a 30º e decompô-lo em suas componentes x e y, vai perceber que:

$v_{ox} = |\bold{v}| \cos(30^{\circ})$

$v_{oy} = |\bold{v}|\sin(30^{\circ})$

Onde |v| é o módulo do vetor de velocidade, 20 m/s.

Fazendo as contas, temos as seguintes velocidades iniciais:

$v_{ox} = 20 \times \frac{\sqrt3}{2} = 10\sqrt3\ m\cdot s^{-1}\\\\v_{oy} = 20 \times \frac{1}{2} = 10\ m\cdot s^{-1}$

Agora precisamos pensar em termos de acelerações. Horizontalmente, a bala não deve ter resistência de força nenhuma; então, por inércia, ela deve continuar se movendo horizontalmente na mesma velocidade até cair no chão. Verticalmente, a bala sofre por ação da gravidade, então precisamos levar a aceleração da gravidade em conta. Ou seja:

$a_x = 0\\\\a_y = -9.8\ m\cdot s^{-2}$

Portanto, o vetor de posição da bala em função do tempo é:

$\bold{S} = [(S_{ox} + v_{ox}t + \frac{a_xt^2}{2})\bold{i} + (S_{oy} + v_{oy}t + \frac{a_yt^2}{2})\bold{j}]\ m\\\\\bold{S} = [(10\sqrt3t)\bold{i} + (10t - \frac{9.8t^2}{2})\bold{j}]\ m$

b) A velocidade é a derivada da posição em função do tempo. Logo:

$v(t) = S'(t) = (S_o + v_ot + \frac{at^2}{2})' = v_o + at$

Como já conhecemos as acelerações e velocidades iniciais para x e y, temos:

$v_x(t) = 10\sqrt3\ m\cdot s^{-1}\\\\v_y(t) = 10 - 9.8t\ m\cdot s^{-1}$

Então o vetor de velocidades é:

$\bold{v} = [(10\sqrt3)\bold{i} + (10 - 9.8t)\bold{j}]\ m\cdot s^{-1}$

O vetor velocidade em t = 2 s será:

$\bold{v} = [(10\sqrt3)\bold{i} + (10 - 9.8 \times 2)\bold{j}]\ m\cdot s^{-1}\\\\\bold{v} = [(10\sqrt3)\bold{i} + (- 9.6)\bold{j}]\ m\cdot s^{-1}$

O módulo é a raiz da soma dos quadrados dos componentes do vetor. Então o módulo da velocidade em t = 2 s é:

$|\bold{v}| = \sqrt{(10\sqrt3)^2 + (-9.6)^2} = \sqrt{300 + 92.16} \approx 19.8\ m\cdot s^{-1}$

c) O alcance horizontal da bala será dado pela posição horizontal no momento em que a bala bate no chão. Esse momento é dado pela fórmula da posição da componente y que obtivemos, quando ela for igual a 0:

$S_y = 10t - \frac{9.8t^2}{2}\\\\-\frac{9.8t^2}{2} + 10t = 0\\\\t = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2}}{-9.8}\\\\t_1 = 0\ s,\ t_2 \approx 2.04\ s$

Como a bala sai do chão em t = 0, isso quer dizer que o instante em que ela bate no chão é t = 2,04 s. Aplicando esse valor à fórmula de distância horizontal percorrida pela bala, temos:

$S_x = 10\sqrt3t\\\\S_x(2.04) = 10\sqrt3 \times 2.04 = 20.4\sqrt3 \approx 35.33\ m$

Então a bala tem um alcance horizontal de aproximadamente 35,33 m.