Question

Uma bala de morteiro de 5kg é disparada para cima com uma velocidade
inicial de 100 m/s e um ângulo de 34◦
em relação a horizontal.
a) Qual a energia cinética da bala no momento od disparo?
b) Qual é a variação na energia potencial da bala até o momento em que
atinge o ponto mais alto da trajetória?
c) Qual a altura atingida pela bala?

Answer 1

De acordo com os dados enunciado e solucionado, podemos afirmar;

$\Large \displaystyle \mathsf{a) \quad E_C = 25\: 000\: J }$

$\Large \displaystyle \mathsf{b) \quad E_P = 7\: 840\: J }$

$\Large \displaystyle \mathsf{c) \quad h = 160\: m }$

A energia cinética é a energia  que está relacionada com o estado de movimento de um corpo que possuem  a capacidade de realizar Trabalho.

Sua intensidade é proporcional à massa e ao quadrado da velocidade do corpo.

$\Large \boxed{ \displaystyle \text { \mathsf{E_C = \dfrac{m \cdot V^2}{2} } } }$

A energia potencial gravitacional é a energia que corresponde ao trabalho que a força Peso realiza e não da trajetória tomada pelo corpo.

A energia potencial gravitacional é representada por:

$\Large \boxed{ \displaystyle \mathsf{ E_P = m \cdot g \cdot h } }$

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf m = 5\: kg \\ \sf V_0 = 100\: m/s\\ \sf \theta = 34^\circ \\ \end{cases} } }$

Decompondo as componentes, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \begin{cases} \sf V_x = V_0 \cdot \cos{\theta} \\ \sf V_y = V_0 \cdot \sin{\theta} \end{cases} } }$

a) Qual a energia cinética da bala no momento do disparo?

A energia cinética inicial é:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_C = \dfrac{m \cdot V_0^2}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_C = \dfrac{5 \cdot (100)^2}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_C = \dfrac{5\cdot 10\:000}{2} } }$

$\Large \displaystyle \mathsf{ E_C = 5 \cdot 5\:000 }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf E_C = 25\: 000\: J }$

b) Qual é a variação na energia potencial da bala até o momento em que

atinge o ponto mais alto da trajetória?

Como a energia mecânica é conservada.

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{M_i} = E_{M_f} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{C_i} + E_{P_i} = E_{C_f} + E_{P_f} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{m \cdot V_0^2}{2} +0 = \dfrac{m \cdot V_h^2}{2}+ E_{P_f} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{m \cdot V_0^2}{2} = \dfrac{m \cdot (V_0 \cdot \cos{\theta})^2}{2}+ E_{P_f} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ \dfrac{m \cdot (V_0 \cdot \cos{\theta})^2}{2}+ E_{P_f} = \dfrac{m \cdot V_0^2}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{P_f} = \dfrac{m \cdot V_0^2}{2} - \dfrac{m \cdot (V_0 \cdot \cos{\theta})^2}{2} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{P_f} = \dfrac{1}{2}\: m \:V_0^2\: ( 1 - \cos^2{\theta} ) } }$

Das relações fundamentais da trigonometria, temos:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\sin^2 {\theta} + \cos^2{\theta} =1 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{\sin^2 {\theta} = 1 - \cos^2{\theta} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{P_f} = \dfrac{1}{2}\: m \:V_0^2\: \sin^2{\theta} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{P_f} = \dfrac{1}{2}\: m \:V_0^2\: \sin^2{34^\circ} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{P_f} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot (10)^2 \cdot ( 0{,}56)^2 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{P_f} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot 10\:000\cdot 0{,}3136 } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{P_f} = 5 \cdot 5\:000\cdot 0{,}3136 } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf E_{P_f} = 7\: 840\: J }$

c) Qual a altura atingida pela bala?

A energia potencial no topo da trajetória é dada por:

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ E_{P_f} = m \cdot g \cdot h } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{E_{P_f}}{m \cdot g} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{7\:840}{5 \cdot 9{,}8} } }$

$\Large \displaystyle \text { \mathsf{ h = \dfrac{7\:840}{49} } }$

$\Large \boldsymbol{ \displaystyle \sf h = 160\: m }$

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