Question

Uma bala de 8,0 g é disparada contra um bloco de 2,50 kg inicialmente em repouso na borda de uma mesa sem atrito de uma altura de 1,0 m (conforme a figura). A bala permanece no bloco, e após o impacto o bloco atinge o solo a 2,0m da base da mesa. Determine a velocidade inicial da bala.

Answer 1

A bala, de massa $m = 8.0\textrm{ g}$ e velocidade inicial $u$ a determinar, é disparada contra o bloco, de massa $M = 2.50\textrm{ kg}$. No instante inicial, o bloco está em repouso, pelo que o momento inicial é:

$p_\textrm{i} = mu.$

Por outro lado, dado que a bala permanece no bloco, o momento final é dado pelo produto entre a massa total do conjunto bala + bloco ($m+M$) e a velocidade $v_0$ desse conjunto:

$p_\textrm{f} = (m+M)v_0.$

Uma vez que não atuam forças externas, o momento linear do sistema é conservado, pelo que:

$p_\textrm{i} = p_\textrm{f} \iff mu = (m+M)v_0 \iff u = \dfrac{m+M}{m}v_0.$

Temos então de determinar a velocidade $v_0$ com que o conjunto inicia o movimento. Utilizamos um referencial com origem no ponto do solo na vertical da borda da mesa, com o eixo $Ox$ horizontal, com sentido da esquerda para a direita, e o eixo $Oy$ vertical, com sentido de baixo para cima. Esta situação corresponde a um lançamento horizontal, em que a única força que atua é o peso $\vec{P} = -(m+M)g\hat{y}$. Assim, a posição vertical do conjunto é dada por:

$y(t) = \underbrace{y_0}_{=1.0} + \underbrace{v_{0,y}}_{=0}t - \dfrac{1}{2}gt^2 = 1.0 - 5.0t^2,$

onde $g \simeq 10\textrm{ m/s}^2$ é a aceleração gravítica, enquanto a posição horizontal é:

$x(t) = \underbrace{x_0}_{=0} + v_{0,x}t = v_0t.$

Determinamos o instante em que o conjunto atinge o solo através da equação:

$y(t) = 0 \iff 1.0-5.0t^2 = 0 \iff t^2 = \dfrac{1}{5} \implies t = \sqrt{\dfrac{1}{5}}\textrm{ s}.$

Sabemos que neste instante, $x(t) = 2.0\textrm{ m}$, pelo que:

$x\left(\sqrt{\dfrac{1}{5}}\right) = 0 \iff 2.0 = v_0\sqrt{\dfrac{1}{5}} \iff v_0 = 2.0\sqrt{5} \textrm{ m/s}.$

Assim, retomando a expressão obtida para $u$, obtemos a velocidade inicial da bala:

$u = \dfrac{m+M}{m}v_0 = \dfrac{8.0+2500}{8.0} \times 2.0\sqrt{5} = 627\sqrt{5} \simeq 1402 \textrm{ m/s}.$