Question

Uma artesã produz certo artigo com um custo mensal dado pela função C(×)= 1/3 X elevado a 3 -2X elevado a 2 +10+20
O preço de venda de uma unidade de tal artigo é r$ 31,00
Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida para que ela obtém o lucro máximo mensal?

Answer 1

Sendo o custo igual a $C(x) = \frac{x^3}{3}-2x^2+10x+20$ e como o preço unitário do artigo é de R$31,00, então a receita será R(x) = 31x.

Como Lucro = Receita - Custo, então:

$L(x) = 31x - (\frac{x^3}{3}-2x^2+10x+20)$

$L(x) = -\frac{x^3}{3}+2x^2+21x-20$

Derivando a função L:

L'(x) = -x² + 4x + 21

Para calcularmos a quantidade que deve ser produzida para que a artesã obtenha o lucro máximo, temos que igualar a derivada a 0:

-x² + 4x + 21 = 0

Utilizando a fórmula de Bháskara:

Δ = 4² - 4.(-1).21

Δ = 16 + 84

Δ = 100

$x = \frac{-4+-\sqrt{100}}{-2}$

$x = \frac{-4+-10}{-2}$

$x' = \frac{-4-10}{-2} = 7$

$x'' = \frac{-4+10}{-2} = -3$

Portanto, a artesã terá que produzir 7 unidades.