Question

Uma artesã possui uma loja on-line por meio da qual ela vende o seu artesanato. Determinado produto disponível em seu site era vendido por R$ 10,00 a unidade e, com esse valor, costumava alcançar a marca de 200 unidades vendidas por mês. Porém, em função do aumento do custo da matéria-prima utilizada na confecção do produto, ela decidiu aumentar também o valor de venda da mercadoria na loja on-line. Para tanto, a artesã fez alguns estudos e pesquisas, por meio dos quais ela notou que, a cada real cobrado a mais sobre o valor de venda do produto praticado antes do aumento do custo da matéria-prima, 10 unidades a menos eram vendidas no mês. Para que a artesã consiga uma receita mensal máxima com as vendas do produto, este deve custar (A) R$ 10,00. (B) R$ 11,00. (C) R$ 12,00. (D) R$ 15,00. (E) R$ 20,00.

Answer 1

Olá.

O que temos a fazer são dois passos:

1º) encontrar uma equação que represente esse fato

2º) encontrar o valor máximo possível de aumento do custo do produto

===(1)==== Encontrando a equação da receita mensal =======

O aumento do produto influencia a quantidade que consegue ser vendida.

A cada real aumentado no preço vende-se 10 unidades a menos.

Se for aumentado x reais, serão vendidas 10*x unidades a menos.

Daí:

→ PREÇO - O preço da unidade é R$10,00. Aumentando mais x reais no preço teremos:

10 + x

→ VENDA - A quantidade de unidades vendidas originalmente por mês é 200. A cada x reais aumentados serão vendidas 200 unidades menos 10x unidades.

200 - 10x

A receita mensal depende de quanto se vende e por quanto se vende. Portanto a equação da renda a ser obtida será a multiplicação desses dois fatores, e a equação que representa essa receita mensal é:

f(x) = (10 + x) * (200 -10x) =

f(x) = 2000 - 100x +200x -10x²

f(x) = -10x² +100x +2000

===(2)==== Encontrando o valor máximo de aumento do custo =======

A equação que representa a receita mensal é de segundo grau. Seu gráfico é uma parábola e tem concavidade virada para baixo, pois o coeficiente a é negativo (-10). Portanto a função possui um valor de máximo no vértice da função.

O x do vértice nos dará o valor x de aumento máximo possível do custo do produto para que a receita também seja máxima.

$Xv =-\frac{b}{2a} =-\frac{100}{2(-10)}=-\frac{100}{-20}=5$

Pode-se então aumentar o produto em 5 reais, para obter renda máxima.

O custo do produto será de R$15,00.

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E por curiosidade, podemos calcular também o y do vértice, que nos dará o valor máximo da receita mensal, ou seja, quanto essa artesã conseguirá arrecadar por mês com o valor x de aumento do produto.

$Yv =-\frac{\Delta}{4a}$

$\Delta =b^{2}-4ac=100^{2}-4(-10)(2.000)=10.000+80.000=90.000$

$Yv =-\frac{90.000}{4(-10)}=\frac{90.000}{40}=2.250$

Ou seja, vendendo o produto a 15 reais, a receita será de R$2.250,00.

Outra forma de obter esse valor é aplicando o aumento de x=5 na função da receita mensal.

f(x) = -10x² +100x +2.000

f(5) = -10(5)² +100(5) +2.000 = -250 +500 +2.000 = 2.250

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Poderíamos também ter calculado a coisa na raça, até chegar (sabe lá quando) ao resultado. Funciona bem com cálculos pequenos e com poucos valores a calcular. Mas quando o cálculo é exaustivo, encontrar a função é de ajuda gloriosa. É para isso que o raciocínio matemático foi desenvolvido.

Como ficaria fazendo na raça:

$\left[\begin{array}{ccc}custo&unidades/m\hat{e}s&receita(custo*un/m\hat{e}s)\\10&200&2000\\11&190&2090\\12&180&2160\\13&170&2210\\...&...&...\end{array}\right]$

Experimente completar a tabela até o custo de R$20,00 e observe o que acontece com a receita. Será uma surpresa, que te fará entender melhor o que está acontecendo nessa história e na tal função.

Legal, né? A gente quebra a cabeça um pouco mas compreende a lógica do exercício, e um uso prático da matemática na vida real.

Bons estudos para você. ^^)