Uma arquiteta está planejando uma área de lazer com uma piscina de fundo retangular que deverá ter área de fundo, em m², correspondente a um terço do produto das raízes da expressão 3x^2 - 16x + 108. Sabendo que os lados dessa piscina terão diferença de 1 metro, em quanto será necessário aumentar o lado maior para que a área dessa piscina seja 18 m²?
Soluções para a tarefa
Será necessário aumentar o lado maior em 2 m.
Explicação:
Primeiro, temos que descobrir o valor do produto das raízes da expressão 3x² - 16x + 108.
Esse produto é dado por:
P = c
a
P = 108
3
P = 36
Um terço desse produto é:
36 : 3 = 12
Portanto, a área do fundo da piscina é de 12 m².
"os lados dessa piscina terão diferença de 1 metro"
Chamando de C o comprimento e de L a largura, temos:
C - L = 1
L = C - 1
A área é o produto dessas medidas. Logo:
A = C × L
12 = C × (C - 1)
12 = C² - C
C² - C - 12 = 0
Agora, vamos resolver a equação do 2° grau.
Δ = b² - 4ac
Δ = (- 1)² - 4.1.(-12)
Δ = 1 + 48
Δ = 49
C = - b ± √Δ
2a
C = - (-1) ± √49
2.1
C = 1 ± 7
2
C' = 8 = 4
2
C'' = - 6 = - 3
2
Como o valor de C deve ser um número natural, pois se trata de uma medida de comprimento, ficamos com a raiz positiva. Então:
C = 4 m
Logo, a largura é:
L = C - 1
L = 4 - 1
L = 3 m
Para que a área seja de 18 m², temos:
A = C · L
18 = (4 + x) · 3
18 = 12 + 3x
3x = 18 - 12
3x = 6
x = 6/3
x = 2 m