Question

Uma área retangular em uma fazenda será cercada por um lado com uma cerca de três fios e nos outros lados, por uma cerca elétrica com um fio. Com 800 m de fio à disposição, determine quais as dimensões da maior área que poderá ser cercada e calcule o valor dessa área. Qual a opção correta.

a) As dimensões do retângulo são 120 m no lado paralelo à cerca de três fios por 160 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 19.200 m².

b) As dimensões do retângulo são 300 m no lado paralelo à cerca de três fios por 200 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 20.000 m².

c) As dimensões do retângulo são 50 m no lado paralelo à cerca de três fios por 300 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 15.000 m².

d) As dimensões do retângulo são 100 m no lado paralelo à cerca de três fios por 200 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 20.000 m².

e) As dimensões do retângulo são 150 m no lado paralelo à cerca de três fios por 100 m no lado perpendicular a essa cerca, resultando numa área total de 15.000 m².

Answer 1

Considerando x e y os lados do retângulo, temos:
2x +2y = p(perímetro do retângulo)

também podemos formar outra função com os fios, ou seja:

um lado x vai ter 3x de fios, um lado x vai ter x de fios, um lado y vai ter y de fio e o outro lado y vai ter y de fio. sabendo que a soma dos fios devem dar 800, teremos:
3x+x+y+y=800
4x+2y=800
y= 400-2x

baseado nesta equação, e analisando as respostas, temos:

a) x=120, y=400-2*120, y=160.....Área = 19200

b) x=300, y=400-2*300, y=-200.....inválido.

c) x=50, y=400-2*50, y=300.....Área = 15000

d) x=100, y=400-2*100, y=200.....Área = 20000

e) x=150, y=400-2*150, y=100.....Área = 15000

vc vê que as opções a,c,d,e respeitam a equação, mas a maior área alcançada é a opção d. portanto resposta letra d.

Answer 2

Seja o retângulo com o seguinte perímetro:

Retangulo do perímetro

          x
|----------------------
|                          |
|  3y                    |  y
|                          |
-----------------------
           x

Tendo o valor do perimetro como 800m teremos:

$\\ P = 3y+y+x+x \\ \\ 800 = 4y+2x \\ \\ 800 -4y = 2x \\ \\ \frac{800-4y}{2} = \frac{2x}{2} \\ \\ x = 400-2y$
--------------------------------

Por outro lado temo o retangulo da área:

        x
|---------------|
|                  |
|  y              | y
|                  |
----------------
         x

$A = x*y$
----------------------

Substituindo x = 400-2y na área teremos:

$\\ A = (400-2y)*y \\ \\ A = 400y-2y^2$

Com isso, teremos a área máximo quando acharmos os pontos críticos da derivada primeira.

Sendo assim:



 $\\ A' = 0 \\ \\ A' = \frac{dA}{dx} \\ \\ A' = \frac{d(400y-2y^2)}{dx} \\ \\ A' = (400y)'-(2y^2)' \\ \\ A' = 400-2*2y^1 \\ \\ A' = 400-4y$

Igualando a zero:

$\\ 400-4y = 0 \\ \\-4y = -400 \\ \\ y = \frac{-400}{-4} \\ \\ y = 100$

Substituindo y na formula do perímetro teremos:

$\\ P = 4y+2x \\ \\ 800 = 4*100+2x \\ \\ 800 = 400 +2x \\ \\ 2x = 800-400 \\ \\ 2x = 400 \\ \\ x = 200$

Dessa forma teremos que a área será:

$\\ A = x*y \\ \\ A = 200*100 \\ \\ A = 20.000m^2$

∵ Alternativa correta será:

x = 200

y = 100

A = 20.000m²