Question

Uma aranha de massa de 0,30 g espera em sua teia de massa insignificante (ver figura abaixo). Um leve
movimento faz com que a teia vibre com uma frequência de cerca de 15 Hz. Considere = 3 e √3 = 1,7.
Em qual frequência você esperaria que a teia vibrasse se um inseto de massa 0,10 fosse preso além da
aranha?

Answer 1

Resposta:

Explicação:

A imagem poderia ajudar a imaginar como é essa vibração. Irei assumir que se trata de um pêndulo, num primeiro caso, em que a aranha está fixa na extremidade. No segundo caso, vou assumir que o sistema é do tipo massa-mola, a aranha vibra oscilando para cima e para baixo.

Assim sendo, para calcular o período de um pêndulo em M.H.S temos a fórmula:

T = 2π √L/g

Em que L é comprimento do pêndulo e g a gravidade.

Sabendo que o período (T) é o inverso da frequência (f), temos que:

T = 1 / f

Logo,

f = 1/T

f = 1/2π √g/L

Note que em ambas as fórmulas, tanto a frequência quanto o período não dependem da massa do objeto e sim da gravidade local e do comprimento do fio. Logo, a teia vibraria com a mesma frequência 15hz se um outro inseto fosse acrescido, pois a frequência independe da massa.

Agora, se fosse um massa-mola:

O período (T) seria:

T = 2π √m/k  

Em que m é a massa do objeto e K é a constante elástica da mola (no caso, da teia). Aqui sim a massa irá interferir no período e na frequência.

Como a frequência é o inverso do período:

f = 1/2π √k/m (aproximarei π =3 para os cálculos)

15hz = 1/6 * √k/m ⇒ √k/m = 90

elevando os dois lados ao quadrado:

k/m = 90²

k = 90² * 0,3g (passando g para Kg, para trabalharmos com unidades do sistema internacional)

k = 8100 * 3 * 10⁻⁴kg  =  243/100 = 2,43

Calculando a frequência adicionando outro inseto:

m' = 0,3 + 0,1 = 0,4 gramas = 0,4 *10 ⁻³ kg = 4 * 10⁻⁴kg

f'= 1/2π √2,43/4 * 10⁻⁴ (não estou me estendendo nas propriedades de potenciação)

f' = 1/6 * $\sqrt{243 * 100/4}$ = 1/6 * $\sqrt{3 * 81 * 100 /4}$

f' = 1/6 * 9 * 10 * $\sqrt{3}$ = 90 * 1,7 /6

f' = 25,5 HZ

Answer 2

Se a aranha e o inseto estiverem presos na teia, então o sistema oscilará com frequência de 13 Hertz.

Como funciona um movimento harmônico simples?

Um MHS é um oscilador, onde o sistema oscila em torno de um ponto médio, preservando energia e quantidade de movimento.

Considerando o sistema aranha-teia como um sistema massa-mola, vamos ter que a constante elástica da teia será:

$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m} } \\\\15 = \frac{1}{2*3} \sqrt{\frac{k}{0,0003} } \\\\\sqrt{\frac{k}{0,0003} } = 15*2*3 = 90\\\\\\frac{k}{0,0003} = 8100\\\\k = 0,0003*8100 = 2,43 N/m$

Com o inseto preso na teia teremos a nova massa de 0,3 + 0,1 = 0,4g, logo a nova frequência será:

$f' = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m'} } = \frac{1}{2*3} \sqrt{\frac{2,43}{0,0004} } = 13 Hz$

Você pode aprender mais sobre Movimento Harmônico Simples aqui: https://brainly.com.br/tarefa/1155154

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