Question

Uma aplicação interessante das integrais é o cálculo do volume de sólidos de rotação. Com este procedimento, podemos determinar áreas que anteriormente eram inacessíveis através da Geometria Plana Clássica. Segundo isto, se f(x) = x³ + 1, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [0, 1].

Answer 1

Resposta:

23π/14

Explicação passo a passo:

Podemos usar o método dos discos, pois a figura gerada é simples.

*O intervalo de integração é de 0 a 1.

A função x³+ 1 fornece os raios dos discos infinitesimais, precisamos da área deles em relação ao raio:

A do círculo = π.r².

Logo a área dos discos é π.(x³+1)².

Somando a área dos discos infinitesimais, ou seja, a integral :

S π(x³+1)²∆x ->intervalo de 0 a 1.

π ( S x⁶+2x³+1 ) =>

π ( x⁷/7 + x⁴/2 + x), aplicando o intervalo de integração, teremos:

π/7+π/2+π = 23π/14 unidades cúbicas.

Espero ter ajudado.

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o volume procurado do sólido de revolução é:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf V = \frac{23\pi}{14}\,u.\,v.\:\:\:}}\end{gathered} }$    

Sejam os dados:

                      $\Large\begin{cases}\tt f(x) = x^{3} + 1\\ \tt I = \left[0,\,1\right]\end{cases}$

Se o sólido é de revolução, então podemos girá-lo sobre um dos eixos. Quando realizamos este giro sobre o eixo das abscissas, obtemos uma fatia - no ponto x -  em forma de disco, cuja medida do raio "r" é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt r = f(x) = x^{3} + 1\end{gathered}$

Sabendo que a área dos disco circular pode ser calculada como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x)= \pi r^{2}\end{gathered}$

Substituindo "I" em "II", temos:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x) = \pi(x^{3} + 1)^{2} = \pi (x^{6} + 2x^{3} + 1)\end{gathered}$

Sabendo que o volume de um sólido de revolução pode ser definido como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{a}^{b}A(x)\,dx \end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "III", temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{0}^{1} \left[\pi (x^{6} + 2x^{3} + 1)\right]\,dx \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \int_ {0}^{1} (x^{6} + 2x^{3} + 1)\,dx\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{6 + 1}}{6 + 1 } +\frac{2x^{3 + 1}}{3 + 1} + x \bigg)\bigg|_{0}^{1}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{7}}{7 } +\frac{2x^{4}}{4} + x \bigg)\bigg|_{0}^{1}\end{gathered} }$

                   $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt = \left[\pi\cdot\bigg(\frac{1^{7}}{7} + \frac{2\cdot1^{4}}{4} + 1\bigg)\right] - \left[\pi\cdot\bigg(\frac{0^{7}}{7} + \frac{2\cdot0^{4}} {4} + 0\bigg)\right]\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt = \pi\cdot\bigg(\frac{1}{7} + \frac{2}{4} + 1\bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \bigg(\frac{4 + 14 + 28}{28}\bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{46\pi}{28}\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{23\pi}{14}\end{gathered}$

✅ Portanto, o volume procurado é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \frac{23\pi}{14}\,u.\,v.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$