Question

Uma aplicação interessante das integrais é o cálculo do volume de sólidos de rotação. Com este procedimento, podemos determinar áreas que anteriormente eram inacessíveis através de Geometria plana clássica. Segundo isto, se f(x) = x² - 1, determine o volume do sólido gerado pela revolução, em torno do eixo x, da região sob o gráfico de f no intervalo [0, 1].

Answer 1

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que o volume procurado do sólido de revolução é:

                $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf V = \frac{8\pi}{15}\,u.\,v.\:\:\:}}\end{gathered} }$    

Sejam os dados:

                      $\Large\begin{cases}\tt f(x) = x^{2} - 1\\ \tt I = \left[0,\,1\right]\end{cases}$

Se o sólido é de revolução, então podemos girá-lo sobre um dos eixos. Quando realizamos este giro sobre o eixo das abscissas, obtemos uma fatia - no ponto x -  em forma de disco, cuja medida do raio "r" é:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(I)\end{gathered}$                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt r = f(x) = x^{2} - 1\end{gathered}$

Sabendo que a área dos disco circular pode ser calculada como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(II)\end{gathered}$                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x)= \pi r^{2}\end{gathered}$

Substituindo "I" em "II", temos:

   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt A(x) = \pi(x^{2} - 1)^{2} = \pi (x^{4} - 2x^{2} + 1)\end{gathered}$

Sabendo que o volume de um sólido de revolução pode ser definido como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf(III)\end{gathered}$                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{a}^{b}A(x)\,dx \end{gathered}$

Substituindo os valores na equação "III", temos:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \int_{0}^{1} \left[\pi (x^{4} - 2x^{2} + 1)\right]\,dx \end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \int_ {0}^{1} (x^{4} - 2x^{2} + 1)\,dx\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{4 + 1}}{4 + 1 } -\frac{2x^{2 + 1}}{2 + 1} + x \bigg)\bigg|_{0}^{1}\end{gathered} }$

                  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\tt = \pi \cdot \bigg(\frac{x^{5}}{5 } -\frac{2x^{3}}{3} + x \bigg)\bigg|_{0}^{1}\end{gathered} }$

                   $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \tt = \left[\pi\cdot\bigg(\frac{1^{5}}{5} - \frac{2\cdot1^{3}}{3} + 1\bigg)\right] - \left[\pi\cdot\bigg(\frac{0^{5}}{5} - \frac{2\cdot0^{3}} {3} + 0\bigg)\right]\end{gathered} }$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} \tt = \pi\cdot\bigg(\frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1\bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \pi\cdot \bigg(\frac{3 - 10 + 15}{15}\bigg)\end{gathered}$

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt = \frac{8\pi}{15}\end{gathered}$

✅ Portanto, o volume procurado é:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\tt V = \frac{8\pi}{15}\,u.\,v.\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$