Question

Uma amostra aleatória de 15 pessoas é obtida de uma população em que 40% têm uma determinada posição política. Qual é a probabilidade de exatamente 6 indivíduos na amostra ter essa determinada posição política?

Answer 1

Se X é a variável aleatória que conta o número de pessoas com a determinada posição política em uma amostra de 15 pessoas, então X tem distribuição binomial de parâmetros n = 15 e p = 40% = 2/5

Da distribuição de X, sabemos que

$P(X=k)=\dbinom{15}{k}\bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)^{k}\bigg(1-\dfrac{2}{5}\bigg)^{15-k}~~,~k=0,1,...,15$

Então, a probabilidade de se ter 6 pessoas do tipo é:

$P(X=6)=\dbinom{15}{6}\bigg(\dfrac{2}{5}\bigg)^{6}\bigg(\dfrac{3}{5}\bigg)^{15-6}\\\\\\P(X=6)=\dfrac{15!}{6!(15-6)!}\cdot\dfrac{2^{6}\cdot3^{9}}{5^{6}\cdot5^{9}}\\\\\\P(X=6)=5005\cdot\dfrac{2^{6}\cdot3^{9}}{5^{15}}\\\\\\P(X=6)=\dfrac{5005\cdot64\cdot19683}{30517578125}\\\\\\\boxed{\boxed{P(X=6)\approx0,2066}}$