Question

uma ajuda urgente ${[x^2+x]/(x)}.dx em [0;1]

Answer 1

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Primeiramente, a função a ser integrada não está definida em  x = 0.  Mas como o comprimento da descontinuidade é nulo, tecnicamente podemos tentar computar a integral no intervalo fechado  [0, 1].

Temos aqui uma integral imprópria.

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Calcular a integral imprópria:

     $\mathsf{\displaystyle\int_0^1\frac{x^2+x}{x}\,dx}$


A função não está definida em  x = 0,  então o valor da integral é

     (se o limite existir)

     $=\mathsf{\displaystyle\underset{\varepsilon\to 0}{\ell im}\int_{0+\varepsilon}^1\frac{x^2+x}{x}\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\underset{\varepsilon\to 0}{\ell im}\int_{\varepsilon}^1\frac{x^2+x}{x}\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\underset{\varepsilon\to 0}{\ell im}\int_{\varepsilon}^1\frac{\diagup\!\!\!\! x\cdot (x+1)}{\diagup\!\!\!\! x}\,dx}\\\\\\ =\mathsf{\displaystyle\underset{\varepsilon\to 0}{\ell im}\int_{\varepsilon}^1(x+1)\,dx}$

     $=\mathsf{\underset{\varepsilon\to 0}{\ell im}\left(\dfrac{x^2}{2}+x\right)\!\bigg|_\varepsilon^1}\\\\\\ =\mathsf{\underset{\varepsilon\to 0}{\ell im}\left[\left(\dfrac{1^2}{2}+1\right)-\left(\dfrac{\varepsilon^2}{2}+\varepsilon\right)\right ]}\\\\\\ =\mathsf{\underset{\varepsilon\to 0}{\ell im}\left[\dfrac{1}{2}+1-\dfrac{\varepsilon^2}{2}-\varepsilon\right ]}\\\\\\ =\mathsf{\underset{\varepsilon\to 0}{\ell im}\left[\dfrac{3}{2}-\dfrac{\varepsilon^2}{2}-\varepsilon\right ]}\\\\\\ =\mathsf{\dfrac{3}{2}-\dfrac{0^2}{2}-0}$   

     $=\mathsf{\dfrac{3}{2}}$   <————   esta é a resposta.


Bons estudos! :-)