Question

Uma ajuda por favor!

Dada a função f definida por f(x) = x² + 4x – 21:
a) Esboce o gráfico destacando os pontos (zeros da função, vértice, ponto que o gráfico intercepta o eixo Oy) (Observação: apresente os cálculos usados para a determinação de cada um desses itens).
b) Em qual intervalo a função é crescente?
C) Em qual(is) intervalo(s) a função é positiva ?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Jhony, que a resolução é simples (embora um pouco trabalhosa).

Dada a função f(x) = x² + 4x - 21 , pede-se para determinar:

a) Esboce o gráfico da função.
Resposta: como aqui no Brainly eu não sei como construir gráficos, então veja o gráfico desta função no endereço abaixo:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x)+%3D+x%C2%B2+%2B+4x+%E2%80%93+21

a.i) Encontre os zeros da função
Resposta: veja: para encontrar os zeros da função (ou as raízes da função) basta fazer f(x) = 0. Assim, teremos:

x² + 4x - 21 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x' = - 7; e x'' = 3 <--- Estas são as raízes da função.

a.ii) Encontre as coordenadas do vértice (xv; yv).
Resposta: veja que, para isso, você deverá encontrar cada uma das coordenadas do vértice (xv; yv) pelas seguintes fórmulas:

xv = -b/2a ---- substituindo-se "b" por "4" e "a' por "1", teremos:
xv = -4/2*1
xv = -4/2
xv = - 2 <--- Esta é a abscissa do vértice.

yv = - (b²-4ac)/4a ---- substituindo-se "b" por "4", "a" por "1" e "c" por "-21", teremos:

yv = - (4² - 4*1*(-21)/4*1
yv = - (16 + 84)/4
yv = - (100)/4
yv = -100/4
yv = - 25 <--- Esta é a ordenada do vértice.

Assim, as coordenadas do vértice são:

(-2; -25) <--- este é o vértice da função (xv. yv).

a.iii) Ponto em que o gráfico da função intercepta o eixo dos "y".
Resposta: para isso, basta você fazer x = 0.
Assim, se a função é esta:

f(x) = x² + 4x - 21 ------ fazendo x = 0, teremos;
f(0) = 0² + 4*0 - 21
f(0) = 0 + 0 - 21
f(0) = - 21 <--- Este é o ponto em que o gráfico corta o eixo dos "y".

Ou seja, o eixo dos "y" será interceptado pelo gráfico da função no ponto:

(0; -21) <--- Este é o ponto em que o gráfico corta o eixo dos "y".

b) Em qual intervalo a função é crescente?
Resposta: ela só será crescente a partir do "x" do vértice (xv = -2). Pelo gráfico você poderá ver isso bem nítido. Ou seja:

 será crescente no intervalo: (-2; +∞)

c) Em quais intervalos a função é positiva?
Resposta: veja que, em função das suas raízes, poderemos estudar a variação de sinais desta equação. Assim, teremos isto:

f(x) = x²+4x-21..+ + + + + + + + + (-7)- - - - - - - - - - (3)+ + + + + + + + + + +

Agora veja:

c.i) f(x) será positivo para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes), ou seja, para x < -7 , ou para x > 3.

c.ii) f(x) será igual a zero para para valores de "x" iguais às raízes, ou seja: para x = -7 e para x = 3.

c.iii) f(x) será negativo para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes), ou seja, no intervalo:  -7 < x < 3.

Então, resumindo, teremos que os intervalos em que f(x) é positivo será nos intervalos:

x < -7 , ou x > 3, o que é a mesma coisa, se você quiser, de apresentar este intervalo assim:

(-∞; -7) ∪ (3; +∞) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.