Question

Uma agência de viagens estima que, para vender x pacotes de viagem, deve cobrar um preço, por pacote, de R$302,50 – 2x. Se o custo da agência, para x pacotes, é 1000 + x + 0,01x2 (em reais), determinar: a)

a função receita;
b) a função lucro;
c) o número de pacotes que maximiza o lucro e o valor deste. como resolver

Answer 1

Olá, sb1.

 

 

a) Função Receita:

 

$<var>R(x)=\text{[pre\c{c}o]} \times \text{[n.\º pacotes vendidos]}=(302,50-2x)x=\\\\ =302,50x-2x^2</var>$

 

 

b) Função Lucro:

 

$<var>L(x)=[\text{Receita}]-[\text{Custo}]=302,50x-2x^2-(1000 + x + 0,01x^2)=\\\\=-1000+301,50x-1,99x^2</var>$

 

 

c) Como a curva da função Lucro é uma parábola com a concavidade voltada para baixo, uma vez que o termo que acompanha o  $<var>x^2</var>$  é negativo, então, no ponto em que a derivada da função Lucro é nula temos um máximo.

 

$<var>\frac{dL}{dx}(x^\star)=0 \Rightarrow 301,50-3,98x^\star=0 \Rightarrow x^\star=\frac{301,5}{3,98} \Rightarrow \\\\ x^\star \approx 75,75\ pacotes</var>$

 

Arredondando para o número inteiro mais próximo, já que não há número "quebrado" de pacotes, temos que o número de pacotes que maximiza o lucro é:

 

$<var>\boxed{x^\star=76\ pacotes}</var>$

 

O lucro máximo, portanto, é de:

 

$<var>L(x^\star)=L(76)=-1000+301,50\cdot 76-1,99\cdot76^2=\\\\=-1000+22876-11494,24 \Rightarrow \boxed{L(x^\star)=\text{R\ }10.381,76}</var>$