Question

Uma agência de automóveis que, para carros com valor de R$ 150.000,00, estabelece o seguinte plano de financiamento, considera a taxa de juros de 40% a.a.:

Entrada de R$ 50.000,00 e prestações mensais, a primeira com vencimento 1 mês após a data da compra, com prazo máximo de 2 anos. Qual será o valor da prestação mensal?



A.
R$ 4.908,45





B.
R$ 7.035,22



C.
R$ 5 805,71



D.
R$ 6.509,77

Answer 1

Considerando o prazo máximo, o que implica em 24 prestações mensais, tendo em vista que o valor do financiamento é R$ 100.000,00, com a taxa mensal, Im,  correspondente a 40% a.a, sendo:

$Im = (1+0,4)^{1/12} -1= 0,028436$

Queremos determinar a prestação mensal R tal que:

$R = Cp . \frac{i.(1+i)^{n} }{1+i^{n}-1 } =100000.\frac{0,028436.(1+0,028436)^{24} }{(1+0,028436)^{24}-1 } = 5.805,71$

Ou seja, deverão ser pagas 24 prestações mensais de R$ 5.805,71 (alternativa C).

Answer 2

Como o enunciado não explicita o regime de juros, vamos considerar o regime de capitalização composto.

Assim, a primeira coisa a se fazer será achar a taxa mensal equivalente a taxa anual de 40% dada no texto.

$(1+Taxa_{mensal})^{Periodo_{mensal}}=(1+Taxa_{anual})^{Periodo_{anual}}\\\\\\\left(1+Taxa_{mensal}\right)^{12~meses}~=~\left(1+\dfrac{40}{100}\right)^{1~ano}\\\\\\\left(1+Taxa_{mensal}\right)^{12}~=~\left(1,4\right)^{1}\\\\\\1+Taxa_{mensal}~=~\sqrt[12]{1,4}\\\\\\Taxa_{mensal}~\approx~1,028436-1\\\\\\\boxed{Taxa_{mensal}~\approx~0,028436}$

No texto, é dito que o carro será pago com uma entrada de 50 mil reais e o restante através de um financiamento cujas prestações são pagas mensalmente e, deduz-se, com valor fixo.

O fluxo de caixa (anexo) para esta compra nos evidencia que o exercício trata de uma serie de pagamentos uniformes.

A equação para a compra fica:

$^{Valor}_{Carro}-Entrada~=~\dfrac{Prestacao}{(1+Taxa)^1}~+~\dfrac{Prestacao}{(1+Taxa)^2}~+~...~+~\dfrac{Prestacao}{(1+Taxa)^{24}}\\\\\\150000-50000~=~\dfrac{Prestacao}{(1,028436)}~+~\dfrac{Prestacao}{(1,028436)^2}~+~...~+~\dfrac{Prestacao}{(1,028436)^{24}}\\\\\\\boxed{100000~=~\dfrac{Prestacao}{(1,028436)}~+~\dfrac{Prestacao}{(1,028436)^2}~+~...~+~\dfrac{Prestacao}{(1,028436)^{24}}}$

Claro, fazer estes cálculos seria trabalhoso e, por isso, podemos utilizar a relação, já conhecida, para esta serie de pagamentos uniformes dada por:

$\boxed{Prestacao~=~VP\cdot\dfrac{(1+Taxa)^{Periodo}\cdot Taxa}{(1+Taxa)^{Periodo}-1}}$

Note que, na relação, VP (valor presente) será o valor do carro já descontados os 50 mil reais pagos de entrada, ou seja, será o valor financiado.

Substituindo os valores:

$Prestacao~=~100000\cdot \dfrac{\overbrace{(1,028436)^{24}}^{\approx~1,959993}\cdot~0,028436}{(1,028436)^{24}-1}\\\\\\Prestacao~\approx~100000\cdot \dfrac{\overbrace{1,959993\cdot 0,028436}^{\approx~0,05573436}}{0,959993}\\\\\\Prestacao~\approx~100000\cdot \dfrac{0,05573436}{0,959993}\\\\\\Prestacao~\approx~100000\cdot 0,05805705\\\\\\\boxed{Prestacao~\approx~R\ \,5.805,71}$