Question

Um zelador de um colégio ao entrar na sala de aula para apagar o
quadro se depara com o seguinte problema. Determine o valor de
n n
n ∈ N sabendo que X = 45×75 , Y = 45 ×75 e que
mmc (X,Y) = 225×mdc (X,Y ). Como o zelador era apaixonado por
matemática, foi resolver o problema antes de apagar o quadro. Se o
zelador acertou a questão, então podemos afirmar que n é igual a
a)15
b)6
c)9
d)12
e)3

Answer 1

O valor de n é 3.

Na verdade X = 45×75ⁿ e Y = 45ⁿ×75.

Primeiro, vamos decompor esses números.

X = 45×75ⁿ

X = 9·5·(3·25)ⁿ

X = 3²·5·(3·5²)ⁿ

X = 3²·5·3ⁿ·5²ⁿ

X = 3ⁿ⁺²·5²ⁿ⁺¹

O mesmo pode ser feito com o Y, mas só precisamos trocar os expoentes.

Y = 3²ⁿ⁺¹·5ⁿ⁺²

O mdc de X e Y é o produto dos fatores comuns entre eles, sem levar em consideração os expoentes. Logo:

mdc (X, Y) = 3·3·5·5

mdc (X, Y) = 225

O mmc (X, Y) é o produto desses números. Logo:

mmc (X, Y) = X · Y

mmc (X, Y) = 3ⁿ⁺²·5²ⁿ⁺¹ · 3²ⁿ⁺¹·5ⁿ⁺²

Arrumando as potências de mesma base, temos:

mmc (X, Y) = 3³ⁿ⁺³·5³ⁿ⁺³

mmc (X, Y) = (3·5)³ⁿ⁺³

Lembre-se de que mmc (X,Y) = 225×mdc (X,Y). Logo:

(3·5)³ⁿ⁺³ = 225×225

(3·5)³ⁿ⁺³ = 3²·5²×3²·5²

(3·5)³ⁿ⁺³ = (3·5)²×(3·5)²

(3·5)³ⁿ⁺³ = (3·5)⁴

[(3·5)ⁿ⁺¹]³ = [(3·5)⁴]³

Com as bases iguais, podemos igualar os expoentes.

n + 1 = 4

n = 4 - 1

n = 3