Question

Um vetor w do R3 forma com os eixos Ox e Oy, ângulos de 60º e 120º, respectivamente. Determine w para que ele tenha módulo igual a 2.

Answer 1

Boa noite!

Podemos utilizar a seguinte equação:
$\cos^2(\alpha)+\cos^2(\beta)+\cos^2(\gamma)=1$

Onde os ângulos são os ângulos formados pelos 3 eixos coordenados e o vetor.
$\cos^2(60^{\circ})+\cos^2(120^{\circ})+\cos^2(\gamma)=1\\ \left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{-1}{2}\right)^2+\cos^2(\gamma)=1\\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\cos^2(\gamma)=1\\ \cos^2(\gamma)=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\\ \cos(\gamma)=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \gamma=45^{\circ}\text{ OU}\\ \gamma=135^{\circ}$

Então, os 3 valores dos eixos coordenados são:
$x=2\cdot\cos(60^{\circ})=2\frac{1}{2}=1\\ y=2\cdot\cos(120^{\circ})=2\frac{-1}{2}=-1\\ z=2\cdot\cos(45^{\circ})=2\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\\ \text{ou}\\ z=2\cdot\cos(135^{\circ})=2\frac{-\sqrt{2}}{2}=-\sqrt{2}$

$\vec{w}=\left(1;-1;\sqrt{2}\right)\text{ ou}\\ \vec{w}=\left(1;-1;-\sqrt{2}\right)$

Espero ter ajudado!

Answer 2

Sendo $\alpha,\;\beta$ e $\gamma$ os ângulos diretores do vetor $\mathbf{w},$ isto é, os ângulos que o vetor $\mathbf{w}$ forma com cada um dos eixos coordenados ($Ox,\;Oy$ e $Oz,$ respectivamente).

Temos que o versor de $\mathbf{w}$ (o vetor unitário com mesmo sentido de $\mathbf{w}$) é

$\mathbf{w}^{\circ}=(\cos \alpha;\,\cos \beta;\,\cos \gamma)$


Como o versor tem módulo $1,$ devemos ter:

$\|\mathbf{w}^{\circ}\|=1\\ \\ \|(\cos \alpha;\,\cos \beta;\,\cos \gamma)\|=1\\ \\ \sqrt{\cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma}=1\\ \\ \cos^{2}\alpha+\cos^{2}\beta+\cos^{2}\gamma=1$


Para esta questão, temos

$\alpha=60^{\circ}\;\text{ e }\;\beta=120^{\circ}$


Vamos encontrar o terceiro ângulo diretor:

$\cos^{2}60^{\circ}+\cos^{2}120^{\circ}+\cos^{2}\gamma=1\\ \\ \left(\frac{1}{2} \right )^{2}+\left(-\frac{1}{2} \right )^{2}+\cos^{2}\gamma=1\\ \\ \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\cos^{2}\gamma=1\\ \\ \frac{1+1+4\cos^{2}\gamma}{4}=1\\ \\ \frac{2+4\cos^{2}\gamma}{4}=1\\ \\ \frac{2+4\cos^{2}\gamma}{4}=1\\ \\ 2+4\cos^{2}\gamma = 4\\ \\ 4\cos^{2}\gamma = 4-2\\ \\ (2\cos\gamma)^{2} = 2\\ \\ 2\cos \gamma=\pm \sqrt{2}\\ \\ \cos \gamma=\pm\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ \begin{array}{rcl} \cos \gamma=\frac{\sqrt{2}}{2}&\text{ ou }&\cos \gamma=-\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \\ \gamma=45^{\circ}&\text{ ou }&\gamma=135^{\circ} \end{array}$


Temos duas possibilidades para o versor $\mathbf{w}^{\circ}:$

$\begin{array}{rcl} \mathbf{w}^{\circ}=(\cos 60^{\circ};\,\cos 120^{\circ};\,\cos 45^{\circ})&\text{ ou }&\mathbf{w}^{\circ}=(\cos 60^{\circ};\,\cos 120^{\circ};\,\cos 135^{\circ})\\ \\ \mathbf{w}^{\circ}=\left(\frac{1}{2};\,-\frac{1}{2};\,\frac{\sqrt{2}}{2} \right )&\text{ ou }&\mathbf{w}^{\circ}=\left(\frac{1}{2};\,-\frac{1}{2};\,-\frac{\sqrt{2}}{2} \right ) \end{array}$


Queremos que $\mathbf{w}$ tenha módulo igual a $2.$ Então, devemos ter

$\mathbf{w}=2\cdot \mathbf{w}^{\circ}\\ \\ \begin{array}{rcl} \mathbf{w}=2\cdot \left(\frac{1}{2};\,-\frac{1}{2};\,\frac{\sqrt{2}}{2} \right )&\text{ ou }&\mathbf{w}=2\cdot \left(\frac{1}{2};\,-\frac{1}{2};\,-\frac{\sqrt{2}}{2} \right ) \end{array}\\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{rcl} \mathbf{w}=(1;\,-1;\,\sqrt{2})&\text{ ou }&\mathbf{w}=(1;\,-1;\,-\sqrt{2}) \end{array} }$