Question

Um vetor unitário v forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 60° e com os
outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de v.

Answer 1

$\boxed{\boxed{\vec{v}=(x,~y,~z)}}$

Se v é unitário:

$||\vec{v}||=1~~~\therefore~~~||\vec{v}||^{2}=1~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}}$
________________________

Seja θ o ângulo entre v e os eixos Oy e Oz

Podemos achar vetores representantes dos eixos Oy e Oz, sendo esses respectivamente:

$\vec{J}=(0,~1,~0)\\\vec{K}=(0,~0,~1)$

O ângulo formado por v e J é θ:

$cos~\theta=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{J}}{||\vec{v}||\cdot||\vec{J}||}\\\\\\cos~\theta=\dfrac{(x,~y,~z)\cdot(0,~1,~0)}{1\cdot||(0,~1,~0)||}\\\\\\cos~\theta=\dfrac{x\cdot0+y\cdot1+z\cdot0}{1\cdot\sqrt{0^{2}+1^{2}+0^{2}}}\\\\\\cos~\theta=\dfrac{y}{1\cdot1}=y$

Analogamente, para ν e K, encontraremos:

$cos~\theta=z$

Igualando:

$cos~\theta=cos~\theta~~~\therefore~~~\boxed{\boxed{y=z}}$
__________

Como o ângulo formado entre v e o eixo Ox é 60º:

Seja I um vetor representante do eixo Ox: $\vec{I}=(1,~0,~0)$

Então:

$cos~60\º=\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{I}}{||\vec{v}||\cdot||\vec{I}||}\\\\\\\dfrac{1}{2}=\dfrac{(x,~y,~z)\cdot(1,~0,~0)}{1\cdot\sqrt{1^{2}+0^{2}+0^{2}}}\\\\\\\dfrac{1}{2}=\dfrac{x}{1\cdot1}\\\\\\\boxed{\boxed{x=\dfrac{1}{2}}}$
_______________________

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\\\\\\\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+y^{2}+y^{2}=1\\\\\\2y^{2}=1-\dfrac{1}{4}\\\\\\2y^{2}=\dfrac{3}{4}\\\\\\y^{2}=\dfrac{3}{2}\cdot\dfrac{1}{4}\\\\\\y=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$

Racionalizando:

$y=\pm\dfrac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{2}}{2\cdot2}\\\\\\y=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{4}$

Como y = z

$z=\pm\dfrac{\sqrt{6}}{4}$

Portanto:

$\boxed{\boxed{\vec{v}=\left(\dfrac{1}{2},\pm\dfrac{\sqrt{6}}{4},\pm\dfrac{\sqrt{6}}{4}~\right)}}$