Question

Um vetor pode ser caracterizado por seu comprimento e também pode ser multiplicado por outro vetor com a operação do produto interno ou escalar, que leva a um resultado numérico no final. Considere os dois vetores apresentados:

u: ( 0, - 4, -2) v : (-1, 3 , -7 )

​Analise as afirmações apresentadas.

I. A soma dos módulos dos vetores u e v é igual a 12,15.
II. O produto escalar entre os vetores u e v é de 2.
III. Dividir o módulo do vetor v pelo vetor u dá como resposta 1,72.

É correto o que se afirma em:
Alternativas
Alternativa 1:
III, apenas.

Alternativa 2:
I e II, apenas.

Alternativa 3:
I e III, apenas.

Alternativa 4:
II e III, apenas.

Alternativa 5:
I, II e III.

Answer 1

Módulo do vetor u:

$|u| = \sqrt{ {0}^{2} + {( -4 )}^{2} + {( - 2)}^{2} } \\ |u| = \sqrt{0 + 16 + 4} \\ |u| = \sqrt{20} \\ |u| = 2 \sqrt{5}$

Módulo do vetor v:

$|v| = \sqrt{ {( - 1)}^{2} + {3}^{2} + {( - 7)}^{2} } \\ | v | = \sqrt{1 + 9 + 49} \\ |v| = \sqrt{59}$

Afirmação I:

$|u| + |v| = 12.15 \\ 2 \sqrt{5} + \sqrt{59} = 12.15 \\ 2 \times 2.236068 + 7.681146 = 12.15 \\ 4.472136 + 7.681146 = 12.15 \\ 12.153282 = 12.15$

Considerando a aproximação, a soma dos vetores de u e v vale 12,15, sim.

Afirmação II:

$|u| \times |v| = (0. \: \: - 4. \: \: \: \: - 2) \times ( - 1. \: \: \: \: 3. \: \: \: \: - 7) \\ |u| \times |v| = 0 \times ( - 1) + ( - 4) \times 3 + ( - 2) \times ( - 7) \\ |u| \times |v| = 0 - 12 + 14 \\ |u| \times |v| = 2$

Logo, o produto escalar dos vetores u e é igual a 2.

Afirmação III:

$\frac{ |v| }{ |u| } = \frac{ \sqrt{59} }{2 \sqrt{5} } \\ \frac{ |v| }{ |u| } = \frac{ \sqrt{59} \times \sqrt{5} }{2 \sqrt{5} \times \sqrt{5} } \\ \frac{ |v| }{ |u| } = \frac{ \sqrt{295} }{2 \sqrt{25} } \\ \frac{ |v| }{ |u| } = \frac{ \sqrt{295} }{10} \\ \frac{ |v| }{ |u| } = \frac{17.175564}{10} \\ \frac{ |v| }{ |u| } = 1.7175564$

Considerando a aproximação, e tendo como terceira casa decimal acima de 5, podemos arredondar, via algarismo significativo, para 1,72.

Assim, confirmamos que as três afirmações são verdadeiras.

Resposta: Alternativa 5