Question

Um ventilador elétrico está girando com velocidade angular de valor numérico equivalente ao seu ano de nascimento, em rotações por minuto, quando é desligado. Depois de 15 s, o ventilador para de girar. Considerando uma aceleração angular constante:

a) Qual é o valor da aceleração angular do ventilador após desligado?

b) Qual é a sua velocidade 10 s após ser desligado?

c) Quantas voltas completa até parar?

d) Se o momento de inércia do ventilador é de 2 kg.m² e pudermos considerar que a força de atrito atua perpendicularmente ao raio e a 30 cm de distância do eixo, qual é o módulo da força de atrito?

Answer 1

Resposta:

Dados da Questão:

$\omega_0= 1998 rpm\\\Delta t=15s=\frac{1}{4}min$

Para facilitar a resolução incialmente, deixaremos a velocidade angular em rpm e o tempo em min.

a)Calculando a aceleração ângular:

$\alpha =\frac{\Delta \omega}{\Delta t}\\ \alpha=\frac{\omega - \omega_0}{\Delta t}\\ \alpha = \frac{0-1998}{\frac{1}{4} }\\ \alpha = -7992 rotacoes/min^2$

em unidades do S.I. é só transformar 1 rotação em 2π rad e minuto em 60 segundos, fazendo isso:

$\alpha = -7992 \cdot \frac{2 \cdor \pi rad}{(60s)^2}\\\alpha = -13,94 rad/s^2$

b)Elaborando a função horária da Velocidade angular do MCUV:

$\omega (t) = \omega_0 + \alpha \cdot t\\\omega (t) = 1998 -7992 \cdot t$

essa é a função horária da velocidade ângular, substituindo para t= 10 s, que é t=1/6 min:

$\omega (\frac{1}{6})= 1998 - 7992 \cdot (\frac{1}{6})\\ \omega (\frac{1}{6})= 1998-1332\\\omega (\frac{1}{6})= 666 rpm\\ou\\\omega (\frac{1}{6})=69,71 rad/s$

c)Para determinar a quantidade de voltas completas, temos que integrar a função da velocidade e aplicar de 0 a 15 segundos, nesse caso de 0 a 1/4 min:

$\int \omega (t) dt=\int (1998-7992 \cdot t) \cdot dt\\\int \omega (t) dt=1998 \cdot t - \frac{7992}{2} \cdot t^2\\ \int \omega (t) dt=1998 \cdot t - 3996 \cdot t^2$

fazendo a aplicação dos pontos finais e inciais:

$\int \omega (t) dt=(1998 \cdot \frac{1}{4} - 3996 \cdot (\frac{1}{4}) ^2)-(1998 \cdot 0 - 3996 \cdot 0^2)\\\int \omega (t) dt=499,5-249,75\\\int \omega (t) dt=249,75$

então, as hélices vão fazer 249,75 rotações até parar.

d)Dados:

$I=2kg \cdot m^2\\r=0,3 m$

Como a força de atrito está sendo aplicada perpendicularmente, ela realizará momento angular forçando a parada das hélices, dessa forma:

$M= I \cdot \alpha\\F \cdot d = I \cdot \alpha\\F \cdot 0,3 = 2 \cdot (-13,94)\\F=-92,93N$

o valor é negativo, pois a força de atrito é aplicada no sentido contrário ao movimento.