Question

Um veículo sobe a 90 km/h uma estrada cuja inclinação é 7º. (a) Se o motorista
trava as rodas repentinamente, qual distância o veículo percorre até atingir o repouso?
(b) Qual seria esta distância de frenagem se, em vez de subir, o motorista estivesse
descendo? O coeficiente de atrito cinético entre os pneus e a pista é 0,50.

Answer 1

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⠀⠀☞ Se o veículo subir a estrada inclinada e o motorista travar as rodas ele percorrerá uma distância de ≈ 50 metros mas se ele estiver descendo então percorrerá ≈ 83 metros. ✅  

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a) Se o motorista...

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⠀⠀Vamos inicialmente fazer uma decomposição vetorial do movimento do carro:

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,1){7}}\put(0,4){\line(1,1){2}}\put(2,2){\line(-1,1){2}}\put(4,4){\line(-1,1){2}}\put(2,4){\vector(-1,1){2}}\put(2,4){\vector(0,-1){3}}\put(2,4){\vector(1,1){2}}\put(2.1,1.3){\LARGE \sf F_p }\put(0.1,6){\LARGE \sf F_n }\bezier(1,1)(1.6,0.7)(1.5,0)\put(0.7,0.1){\Large \sf 7^{\circ} }\put(3.4,6){\LARGE\sf v}\put(2,4){\vector(-1,-1){2}}\put(-0.5,2.5){\LARGE \sf F_{at} }\end{picture}$  

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$\setlength{\unitlength}{0.95cm}\begin{picture}(6,5)\thicklines\put(0,0){\line(1,1){6}}\put(0,4){\line(1,1){2}}\put(2,2){\line(-1,1){2}}\put(4,4){\line(-1,1){2}}\put(2,4){\vector(0,-1){3}}\bezier(1,1)(1.6,0.7)(1.5,0)\put(0.6,0.1){\Large \sf 7^{\circ} }\put(2,4){\vector(1,-1){1.5}}\put(3.5,2.5){\vector(-1,-1){1.5}}\bezier(2,1.8)(2.4,1.8)(2.5,1.5)\put(0,0){\line(1,0){7}}\put(2,1){\line(1,0){4}}\bezier(2.7,1.7)(3.2,1.4)(3,1)\put(2.4,1.1){ \sf 7^{\circ} }\put(2.03,1.43){ \sf 83^{\circ} }\put(2.7,2){\LARGE \sf F_{p_x} }\put(2.6,3.5){\LARGE \sf F_{p_y} }\put(2,4){\vector(-1,-1){2}}\put(-0.5,2.5){\LARGE \sf F_{at} }\put(8,5.5){\dashbox{0.1}(4.5,1){\Large \sf F_{p_x} = cos(83^{\circ}) \cdot F_p }}\put(8,4.5){\dashbox{0.1}(4.5,1){\Large \sf F_{p_y} = sen(83^{\circ}) \cdot F_p }}\put(2,4){\vector(1,1){2}}\put(3.4,6){\LARGE\sf v}\put(2,4){\vector(-1,1){2}}\put(0.1,6){\LARGE \sf F_n }\put(10,1.5){\vector(1,-1){1}}\put(10,1.5){\vector(1,1){1}}\put(10,1.5){\vector(-1,-1){1}}\put(10,1.5){\vector(-1,1){1}}\put(11.2,2.6){x}\put(8.6,2.6){y}\end{picture}$

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$\footnotesize\sf (Esta~imagem~n\tilde{a}o~\acute{e}~visualiz\acute{a}vel~pelo~App~Brainly$ ☹ )

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⠀⠀Vamos encontrar quais são as acelerações no eixo x:

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$\LARGE\blue{\sf a_{g_x} = cos(83^{\circ}) \cdot a_g}$

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$\LARGE\blue{\sf a_{g_x} = 1,22~m/s^2}$ ✅

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$\Large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf m_c \cdot a_{at} = F_{at} = N \cdot \mu_c}&\\&&\\\end{array}}}}}$

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$\large\blue{\sf \diagup\!\!\!\!{m}_c \cdot a_{at} = \diagup\!\!\!\!{m}_c \cdot 10 \cdot sen(83^{\circ}) \cdot 0,5}$  

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$\LARGE\blue{\sf a_{at} = 4,96~m/s^2}$ ✅

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⠀⠀Convertendo a velocidade de km/h para m/s teremos 90 / 3,6 = 25 [m/s]. Vamos agora encontrar o instante t em que o veículo parou através da função horária da velocidade:

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$\LARGE\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf V(t) = V_0 + a \cdot t }&\\&&\\\end{array}}}}}$  

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf V_0 }}$ sendo a velocidade inicial do objeto [m/s];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo a aceleração do objeto [m/s²];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{t}}$ sendo o instante analisado [s].  

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$\LARGE\blue{\sf 0 = 25 - (4,96 + 1,22) \cdot t}$

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$\LARGE\blue{\sf t \approx 4~s}$ ✅

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⠀⠀Sabendo t vamos agora encontrar a posição em que ele parou através da função horária da posição (também chamada de Fórmula do Sorvetão):

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$\large\red{\boxed{\pink{\boxed{\begin{array}{rcl}&&\\&\orange{\sf S(t) = S_0 + V_0 \cdot t + \dfrac{a \cdot t^2}{2}}&\\&&\\\end{array}}}}}$  

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$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf S_0 }}$ sendo a posição inicial do objeto [m];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{ \sf V_0 }}$ sendo a velocidade inicial do objeto [m/s];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{t}}$ sendo o instante analisado [s];  

$\text{\pink{ \Longrightarrow }~\Large\sf\orange{a}}$ sendo a aceleração do objeto [m/s²]  

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$\LARGE\blue{\sf S(4) = 0 + 25 \cdot 4 - \dfrac{6,22 \cdot 4^2}{2}}$

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$\LARGE\blue{\sf S(4) \approx 50~m}$ ✅  

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b) Qual seria...  

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⠀⠀De forma semelhante porém agora tendo a velocidade e a aceleração da gravidade no eixo x como positivas e a aceleração do atrito como negativa, encontramos o instante t em que o veículo para pela função horária da velocidade, onde t ≈ 6,6 s, e a posição em que ele para através da função horária da posição, onde s ≈ 83 m. ✅  

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⠀⠀☀️ Leia mais sobre decomposição vetorial:  

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⠀⠀⠀⠀☕ Bons estudos.  

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(Dúvidas nos comentários) ☄  

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Absque sudore et labore nullum opus perfectum est.