Question

Um veículo percorre um terço de um trajeto com velocidade v1, outro um terço
do trajeto com velocidade v2 e o terço restante com velocidade v3. Prove que
a velocidade escalar média no trajeto inteiro é dada pela seguinte média harmônica:

Answer 1

Sabemos que:

$\mathtt{V_{m}=\dfrac{\Delta S}{\Delta t}}$                                      $\mathtt{\Delta t=\dfrac{\Delta S}{\Delta V_{m}}}$


Como os 3 trechos são iguais, a velocidade escalar média será:


$\mathtt{V_{m}=\dfrac{3\Delta S}{\dfrac{\Delta S}{V_{1}}+\dfrac{\Delta S}{V_{2}}+\dfrac{\Delta S}{V_{3}}}}$


Podemos transformar as frações do denominador em uma só tirando o mmc:


$\mathtt{=\dfrac{3\Delta S}{\dfrac{\Delta SV_{2}V_{3}+\Delta SV_{1}V_{3}+\Delta SV_{2}V_{3}}{V_{1}\cdot V_{2}\cdot V_{3}}}}$


$\mathtt{=\dfrac{3\Delta S}{\dfrac{\Delta S\cdot (V_{2}V_{3}+V_{1}V_{3}+V_{1}V_{2})}{V_{1}\cdot V_{2}\cdot V_{3}}}}$


$\mathtt{=\dfrac{3\diagup\!\!\!\!\!\!\Delta S}{1}\cdot \dfrac{V_{1}\cdot V_{2}\cdot V_{3}}{\diagup\!\!\!\!\!\!\Delta S\cdot (V_{2}V_{3}+V_{1}V_{3}+V_{1}V_{2})}}$


$\mathtt{V_{m}=\dfrac{3\cdot V_{1}\cdot V_{2}\cdot V_{3}}{V_{1}V_{2}+V_{2}V_{3}+V_{1}V_{3}}}$


Só mudei a ordem das multiplicações no denominador.


Bons estudos no Brainly! =)