Question

Um veículo, cujo preço inicial corresponde a Vo, sofre desvalorização anual de 20% ao ano, cujo preço P(t), calculado daqui a t anos, pode ser descrito por:

P(t) = Vo.(0,8)t

Considerando log 2 = 0,301, qual o tempo necessário, aproximadamente, para que um veículo possa valer a metade de seu valor inicial?


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Answer 1

Somente daqui 3,1 anos o carro irá valor metade de seu valor inicial.

Explicação passo-a-passo:

Bem, temos que o preço de um carro vale:

$P(t)=Vo.(0,8)^t$

E queremos saber quando este valor, passará a ser metade do valor inicial, ou seja, Vo/2.

Para isso basta igualarmos o preço atual do carro com o valor que queremos:

$P(t)=Vo.(0,8)^t$

$\frac{Vo}{2}=Vo.(0,8)^t$

$\frac{1}{2}=(0,8)^t$

Agora vamos aplicar o logaritmo na base 10, nos dois lados:

$log(frac{1}{2})=log((0,8)^t)$

Podemos simplificar os valores, pois sabemos que:

$\frac{1}{2}=2^{-1}$

E também sabemos que:

$0,8=8 . 10^{-1} = 2^3 . 10^{-1}$

Então substituindo isto na equação:

$log(2^{-1})=log((2^3)^t.(10^{-1})^t)$

Em logaritmos, multiplicações viram, somas, então:

$log(2^{-1})=log((2^3)^t)+log((10^{-1})^t)$

Além disso, em logaritmos, podemos tirar expoentes de dentro dos logaritmos e transforma-los em multiplicadores:

$log(2^{-1})=log(2^3)^t+log(10^{-1})^t$

$-1.log(2)=3t.log(2)-t.log(10)$

Agora, já sabemos o valor de log2 = 0,301 e log10 = 1, então:

$-1.(0,301)=3t.(0,301)-t$

$-0,301=0,903t-t$

$-0,301=-0,097t$

$t=\frac{0,301}{0,097}$

$t=3,1$

Ou seja, somente daqui 3,1 anos o carro irá valor metade de seu valor inicial.