Question

Um vazamento de petróleo no oceano produz uma mancha aproximadamente circular de raio R(t) m, onde t é o tempo em minutos após o início do vazamento. A mancha (raio) está aumentando a uma taxa de R'(t)=21/(0,07t+5) m/min. a) Determine a expressão do raio R(t), supondo R(0)=0. b) Qual a área da mancha após 1 hora?

Answer 1

Fazendo a integração indefinida, temos que noss função R(t) é dada por:

$R(t)=300ln(\frac{0,07t+5}{5})$

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que a derivada da função R(t) é:

$R'(t)=\frac{21}{0,07t+5}$

Então vamos integrar esta equação indefinidamente:

$R(t)=\int\frac{21}{0,07t+5}dt$

$R(t)=\frac{21ln(0,07t+5)}{0,07}+C$

$R(t)=300ln(0,07t+5)+C$

Onde C é uma constante de integração que precisamos encontrar. Para isto vamos usar o fato que sabemos que R(0)=0, assim:

$R(t)=300ln(0,07t+5)+C$

$0=300ln(0,07.0+5)+C$

$300ln(5)=-C$

$C=-300ln(5)=$

Então nossa função fica:

$R(t)=300ln(0,07t+5)-300ln(5)$

$R(t)=300ln(\frac{0,07t+5}{5})$