Um túnel, de 8 m de largura, tem forma de uma parábola representada pela equação y = ax2 + b, com a e b ∈ ℝ e a < 0, conforme figura abaixo.
Analisando essa figura, é correto afirmar que a distância entre O e P, em m, vale?
Soluções para a tarefa
Resposta:
A distância entre O e P vale 4,5 m.
Explicação passo-a-passo:
A distância OP corresponde ao vértice da parábola (yV). Então vamos determinar a parábola:
A(-6,0)
C(-2,0)
O(0,0)
D(2,0)
B(6,0)
M(-2,4)
N(2,4)
As raízes da parábola são A(-6,0) e B(6,0):
f(x)=ax²+bx+c=k(x-x₁)(x-x₂), k∈Z
A(-6,0) => x₁= -6 e y₁=0
B(6,0) => x₂=6 e y₂=0
k[x-(-6)](x-6)=0
k(x+6)(x-6)=0
k(x²-6²)=0
k(x²-36)=0
kx²-36k=0
f(x)=kx²-36k
Para determinarmos o valor de K vamos utilizar qualquer um dos pontos da parábola M(-2,4) ou N(2,4)
Utilizando M(-2,4) => x= -2 e f(x)=4
Substituindo x= -2 e f(x)=4 em f(x)=kx²-36k
f(-2)=k.(-2)²-36k=4
4k-36k=4
-32k=4
k= -4/32= -4÷4/32÷4= -1/8
f(x)= -(x²-36)/8= (-x²+36)/8
O vértice yV ocorre quando x=0 (ver no gráfico)
f(0)=yV=(-0²+36)/8=36/8=4,5
A distância entre O e P vale 16/3 metros.
Essa questão é sobre equações do segundo grau. As equações do segundo grau são representadas por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação. O vértice da parábola é o ponto que representa o valor máximo ou valor mínimo da equação e suas coordenadas são dadas por:
xv = -b/2a
yv = -∆/4a
Para responder essa questão, devemos encontrar a equação da parábola. Sabemos que a distância entre A e B é 8 metros, logo, as raízes da equação são -4 e 4, portanto:
a·(x - 4)·(x + 4) = a·(x² - 16) = ax² - 16a
Para encontrar o valor de a, podemos utilizar o ponto M, de coordenadas (-2, 4):
4 = a·(-2)² - 16·a
4 = 4a - 16a
4 = -12a
a = -1/3
A equação fica y = -x²/3 + 16/3.
A distância entre os pontos O e P é igual a coordenada y do vértice:
yv = -(0² - 4·(-1/3)·16/3)/4·(-1/3)
yv = (64/9)/(4/3)
yv = 16/3 m
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