um tronco de pirâmide quadrangular regular possui diagonal da base maior com 12√2 cm e aresta de base menor com 4 cm.
a partir das informações apresentadas, determina a:
a) altura do tronco da piramide
b) área lateral
c) área total
Soluções para a tarefa
como a base HILJ é um quadrado vem HL= LJ= x então:
(12√2_)^2= HL^2 + LJ^2 <=> (12√2_)^2=2x^2 <=> x= √(144.2/2) <=> x= 12
Por outro lado, CE= HI/2 <=> CE= 6 e AB= FG/2 <=> AB= 2 e CD= AB então CE - CD= 4
Como o triângulo [B D E] tem o ângulo BDE= 90º e o ângulo BED= 45º tem de ter o ângulo DBE= 45º logo trata-se de um triângulo isósceles onde: BD= DE= 4
Por fim, AC que é a altura do tronco da pirâmide é igual a BD.
Assim, a altura é igual a 4 cm como queríamos demonstrar.
b) Cálculo de BE:
BE^2= ND^2 + DE^2 <=> BE^2= 4^2 + 4^2 <=> BE= √32= 4√2
Atrapézio= (JI + NG)/2 . BE
At= (12+4)/2 x 4√2 <=> At= 32√2 e Al= 4At logo Al= 128√2
c) ATotal= Al + Abasemaior + Abasemenor
AT= 128√2 + 12^2 + 4^2 <=> AT= 128√2 + 160 cm²
*Nota: o número máximo pelo qual podemos dividir simultaneamente 128 e 160 é 32. Assim pondo 32 em evidência temos:
AT= 32( 4√2 + 5) cm²Anexos
A altura do tronco da pirâmide é 3 cm, sua área lateral é 96√2 cm² e sua área total é 160 + 96√2 cm².
Para responder corretamente esse tipo de questão, devemos levar em consideração que:
- A altura pode ser encontrada utilizando a função tangente;
- A área lateral é a soma dos quatro trapézios laterais;
- A área total é a soma da área lateral com a área das bases;
Com essas informações, sabemos que a base maior é um quadrado com diagonal medindo 12√2 cm, logo, sabendo que a medida da diagonal de qualquer quadrado é a√2, sendo a o lado do quadrado, temos que a medida da aresta da base maior é igual a 12 cm.
a) O cateto adjacente ao ângulo é dado pela metade da diferença entre a base maior e base menor, logo, ele mede 3 cm, a altura será:
tg(45°) = h/3
1 = h/3
h = 3 cm
O apótema da pirâmide será:
a² = 3² + 3²
a = 3√2 cm
b) A altura dos trapézios que formam as faces laterais é igual ao apótema da pirâmide, logo:
Al = 4. (12 + 4).3√2/2
Al = 4 . 16.3√2/2
Al = 96√2 cm²
c) Somando com a área das bases:
At = 96√2 + 4² + 12²
At = 160 + 96√2 cm²
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