Um tronco de pirâmide de bases paralelas possui as bases quadradas de lado 20 cm e 8 cm, e a altura igual a diagonal da base menor. Qual a superfície total desse tronco de pirâmide?
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área da base inferior = 20² = 400 cm²
área da base superior = 8² = 64 cm²
Agora precisamos encontrar a área de uma face lateral.
Visualize, dentro do tronco, um trapézio retângulo cuja base maior é 10, a base menor é 4 e a altura, que é a altura do tronco, ou seja, a diagonal do quadrado de lado 8, que é 8√2. Precisamos encontrar o outro lado desse trapézio, que é, justamente, a altura da face lateral do tronco. Desenhe essa figura.
Na figura que você desenhou, trace uma perpendicular passando pela outra extremidade do lado que mede 4, isto é, uma paralela a altura do tronco. O lado de baixo que era de 10, agora está dividido em duas partes: uma de 4 e outra de 6.
Note que você ficou com um triângulo retângulo de catetos 8√2 e 6. Vamos aplicar, então, o teorema de Pitágoras, para encontrar a hipotenusa, ou seja, a altura da face lateral.
x² = (8√2)² + 6² = 64 . 2 + 36 = 128 + 36 = 164 ⇒ x = √164 = √2².41 = 2√41 cm
Portanto, cada face lateral é um trapézio cuja base maior mede 20, a base menor 8 e a altura mede 2√41
Vamos calcular a área desse trapézio, isto é, a área de uma face lateral do tronco:
[(20 + 8) . 2√41] : 2 = [28 . 2√41] : 2 = 56√41 : 2 = 28√41 cm²
Esse tronco tem 4 dessas faces, portanto,
área lateral = 4 . 28√41 = 112√41 cm²
Logo, juntando as área das duas bases e a lateral, temos a área total ou a superfície desse tronco.
superfície total = 400 + 64 + 112√41 = 464 + 112√41 = 16(29 + 7√41) cm²
área da base superior = 8² = 64 cm²
Agora precisamos encontrar a área de uma face lateral.
Visualize, dentro do tronco, um trapézio retângulo cuja base maior é 10, a base menor é 4 e a altura, que é a altura do tronco, ou seja, a diagonal do quadrado de lado 8, que é 8√2. Precisamos encontrar o outro lado desse trapézio, que é, justamente, a altura da face lateral do tronco. Desenhe essa figura.
Na figura que você desenhou, trace uma perpendicular passando pela outra extremidade do lado que mede 4, isto é, uma paralela a altura do tronco. O lado de baixo que era de 10, agora está dividido em duas partes: uma de 4 e outra de 6.
Note que você ficou com um triângulo retângulo de catetos 8√2 e 6. Vamos aplicar, então, o teorema de Pitágoras, para encontrar a hipotenusa, ou seja, a altura da face lateral.
x² = (8√2)² + 6² = 64 . 2 + 36 = 128 + 36 = 164 ⇒ x = √164 = √2².41 = 2√41 cm
Portanto, cada face lateral é um trapézio cuja base maior mede 20, a base menor 8 e a altura mede 2√41
Vamos calcular a área desse trapézio, isto é, a área de uma face lateral do tronco:
[(20 + 8) . 2√41] : 2 = [28 . 2√41] : 2 = 56√41 : 2 = 28√41 cm²
Esse tronco tem 4 dessas faces, portanto,
área lateral = 4 . 28√41 = 112√41 cm²
Logo, juntando as área das duas bases e a lateral, temos a área total ou a superfície desse tronco.
superfície total = 400 + 64 + 112√41 = 464 + 112√41 = 16(29 + 7√41) cm²
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