Question

Um triângulo retângulo tem como medida dos lados, em centímetros, os seguintes números naturais: x, x+14 e x+16. A soma da medida dos lados desse triângulo, em cm, é:.

Answer 1

Resposta:

A soma das medidas do lados do triângulo é igual a 60 centímetros.

Explicação passo a passo:

Em um triângulo retângulo o maior dos seus três lados sempre será a hipotenusa, e os demais são catetos.

Pelo Teorema de Pitágoras sabemos que o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos, assim escrevemos:

$a^2=b^2+c^2$

Sendo, a a medida da hipotenusa e b e c as medidas dos dois catetos.

No exercícios temos que $x+16$ é o maior lado, então corresponde a medida da hipotenusa do triângulo retângulo, as duas medidas restantes,  $x+14$ e $x$ são os catetos que chamaremos de b e c respectivamente, aplicando o Teorema de Pitágoras, encontramos uma equação do 2º grau:

$a^2=b^2+c^2\\(x+16)^2=(x+14)^2+x^2\\x^2+32x+256=x^2+28x+196+x^2\\x^2+28x+196+x^2-x^2-32x-256=0\\x^2-4x-60=0$

Agora, vamos calcular o valor de x que satisfaz a equação obtida acima:

$x^2-4x-60=0$

• Primeiro calculamos o valor do discriminante ($\Delta =b^2-4 \cdot a\cdot c$):

Sendo $a=1$, $b=-4$ e $c=-60$, calculamos:

$\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot(-60)\\\Delta = 16+240\\\Delta=256$

• Raízes da equação do 2º grau, usando a fórmula de Bhaskara:

$x=\frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2 \cdot a}$

$x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 1}\\\\x=\frac{4 \pm 16}{2}\\\\x'=\frac{4=16}{2}=\frac{20}{2}=10\\\\x''=\frac{4-16}{2}=\frac{-12}{2}=-6$

Como x é a medida de um dos lados do triângulo, ele não pode assumir valores negativos, logo o valor de x é igual a 10.

• Agora calculamos as medidas dos lados do triângulo:

$a=x+16 \Rightarrow a=10+16 = 26\\b= x+14 \Rightarrow b=10+14 = 24\\c=x \Rightarrow c= 10$

Somando as medidas dos lados encontradas, temos:

$26+24+10=60$