Question

Um triângulo retângulo tem catetos medindo 3dm e 4dm. Determine a área da superfície do sólido de revolução gerado pela rotação do triângulo em torno de sua hipotenusa.

Answer 1

Bom dia. A manha é perceber que a revolução gerado pela rotação ao redor da hipotenusa do triângulo retângulo gera 2 cones com bases 1 tocando no outro. Abaixo explicarei, veja a 2a imagem para visualizar melhor. Primeiro, perceba que se os catetos medem 3 e 4, este é um triângulo pitagórico, e sua hipotenusa mede 5dm(basta fazer pitágoras e chegará neste resultado).

Agora, observe o seguinte na 1a imagem em anexo.

Vamos dividir o triângulo retângulo em 2 triângulos retângulos menores. A projeção do cateto 3 terá 3²=5*projeção(3) -> projeção(3) = 9/5dm, e a projeção do cateto 4 terá 4²=5*projeção(4) -> projeção(4)=16/5dm. Sua altura é 5*altura=3*4 -> altura = 12/5

Logo, temos 2 triângulos retângulos:

Um deles tem catetos 12/5dm e 16/5dm, e hipotenusa 4dm.

O outro tem catetos 9/5dm e 12/5dm, e hipotenusa 3dm.

Isto é importante porque, após a revolução, teremos 2 cones cujos raios da base é a altura do triângulo retângulo original, ou seja, 12/5dm, e suas alturas e geratrizes são os lados destes triângulos, como pode ver na 2a imagem.

O cone menor tem altura 9/5dm e geratriz 3dm, e o cone maior tem altura 16/5 e geratriz 4dm. A 3a imagem tem o menor cone, e a 4a imagem o maior cone.

Ou seja, a área da superfície deste sólido é a área lateral do cone de altura 9/5 geratriz 3 e raio 12/5 somado com a área lateral do cone de altura 16/5 geratriz 4 e raio 12/5.

Sabendo que a área lateral do cone é dado por ÁreaLat do Cone = π*R*g:

ÁreaLat Cone Menor = $\pi*\frac{12}{5}*3=\frac{36\pi}{5}$

ÁreaLat Cone Maior = $\pi*\frac{12}{5}*4=\frac{48\pi}{5}$

Área Superfície do Sólido = ÁreaLat Cone Menor+ÁreaLat Cone Maior = $\frac{36\pi}{5}+\frac{48\pi}{5}=\frac{84\pi}{5}$

84π/5 dm.