Question

Um triângulo retângulo é tal que seus lados medem 1, 2 e √5 centímetros. Determine as razões trigonométricas – seno, cosseno e tangente – de seu maior ângulo agudo.

Answer 1

Olá!

O maior lado de um triângulo retângulo é sua hipotenusa. Note que

$5>4\Rightarrow\sqrt{5}>\sqrt{4}\Rightarrow\sqrt{5}>2.$

Logo, os catetos medem 1 cm e 2 cm, enquanto a hipotenusa mede $\sqrt{5}\;\text{cm}.$

Lembrando que fixado um ângulo $\theta$ do triângulo retângulo, temos

seno $(\theta)$ = cateto oposto à $\;\;\theta\;\;$ $\div$ hipotenusa

cosseno $(\theta)$ = cateto adjacente à $\;\;\theta\;\;$ $\div$ hipotenusa

tangente $(\theta)$ = cateto oposto $\;\div\;$ cateto adjacente = seno $\div$ cosseno.

Vamos supor, sem perda de generalidade, que o cateto adjacente mede 2 cm, e o cateto oposto é o que mede 1 cm. Logo,

$\sin(\theta)=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\\ \\ \\ \cos(\theta)=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\\ \\ \\ \tan(\theta)=\dfrac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}=\dfrac{\frac{\sqrt{5}}{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\cdot \dfrac{5}{2\sqrt{5}}=\dfrac{1}{2}.$

Bons estudos!