Question

um triangulo retangulo é tal que o menor lado está para o maior assim como 5 está para 13. sabendo-se que seu perímetro é de 60 cm, determine a medida do menor segmento determinado pela bissetriz que intercepta o menor lado

Answer 1

Utilizando trigonometria no triangulo retangulo, temos que o menor segmento desta divisão por bissetriz que queremos é o lado de 4,8 cm.

Explicação passo-a-passo:

Se este é um triangulo retangulo, e um dos lados está para a hipotenusa, como 5 está para 13, então este é um dos famosos triangulos pitagoricos, o triangulo 5,12,13.

Ou seja, seus lados são proporcionais aos valores 5,12,13 para fechar perfeitamente com o teorema de Pitagoras.

Sabendo disso vamos chamar a constante de proporcionalidade dos lados deste triangulo de K, assim os lados destes triangulo são: 5K, 12K e 13K.

Somando estes lados temo um total de 60 cm, então:

5K + 12K + 13K = 60

30K = 60

K = 2

Assim os lados deste triangulo são na verdade 10, 24 e 26 cm.

Nós queremos saber qual o angulo oposto ao lado de 10 cm, pois a bissetriz deste que irá cortar o menor lado sendo o de 10 cm. Para isso vamos usar o seno deste angulo:

$sen(a)=\frac{O}{H}$

$sen(a)=\frac{10}{26}$

$sen(a)=0,38$

$a=22,6$

Assim este angulo é de 22,6º, fazendo a bisstriz irá cortar ele ao meio ficando 11,3º, e irá formar um novo triangulo retangulo, que irá ter uma nova hipotenusa e novo lado oposto, e é este lado oposto (pedaço do lado de 10 cm) que queremos descobrir, mas note que o lado de 24 cm se mantem, então podemos utilizar a tangente de 11,3º para descobrir o novo lado oposto:

$tg(11,3)=\frac{O}{A}$

$0,2=\frac{O}{24}$

$O=24.0,2$

$O=4,8$

Assim temos que este menor lado de 10 cm, foi dividido pela bissetriz em um lado de 4,8 cm e outro de 5,2 cm. Assim o menor segmento desta divisão que queremos é o lado de 4,8 cm.