Question

Um triângulo retângulo apresenta as seguintes características:
 Seu maior cateto mede 12 cm.
 Seu perímetro é igual à sua área.
É CORRETO afirmar que a hipotenusa desse triângulo retângulo mede:
a) 13 cm. b) 14 cm. c) 15 cm. d) 16 cm.

Answer 1

Resposta:

a) 13cm

Explicação passo-a-passo:

b = 12cm

a+b+c = b*c/2

a+12+c = 12c/2 = 6c

12+a+c = 6c

6c = 12+a+c

6c - c = 12+a

5c = 12+a

c = (12+a)/5

a² = b² + c²

a² = 12² + [(12+a)/5]²

a² = 12² + (12+a)² / 5²

a² = 12² + [(a² + 24a + 12²)/5²]

a² = 144 +  [(a² + 24a + 144)/25]

a² = (25*144 + a² +24a + 144) /25

25a² = a² + 24a + 3600 +144

24a² -24a  - 3744 = 0

a² - a - 156 = 0

Resolvendo Bhaskara:

a' = 13

a'' = -12 --- não há comprimento negativo

Resposta: 13cm

Answer 2

Questão contextualizada sobre Triângulos Retângulos.

                                                       Revisão :

➤ Área de um triângulo qualquer :

Área  $= \dfrac{base.altura}{2}$

1. Observação : Em um triângulo retângulo a situação é um pouco diferente pois a altura e base dessa figura correspondem aos seus próprios catetos.

➤ Área de um triângulo retângulo :

Área $= \dfrac{cateto.cateto}{2}$

↳ Chamando de ''b'' e ''c'' os catetos e de ''a'' a sua hipotenusa nós ficamos com o seguinte :

Área $= \dfrac{b.c}{2}$

➤ Perímetro desse triângulo :

↳ Como o perímetro de uma figura geométrica corresponde a soma de todos os seus lados é tido :

Perímetro $= hipotenusa$ $+$ $cateto$ $+$ $cateto$

Perímetro $= a + b + c$

                                                   Cálculos :

• 1º Passo ➜ Fazer as substituições necessárias de acordo com os dados da questão.

Considerando que o cateto maior seja aquele que eu chamei anteriormente de ''b'' e tido que esse cateto vale 12 cm :

Área $= \dfrac{12.c}{2}$ ➜ Área = $6.c$

Perímetro $= a + c + 12$

• 2º Passo ➜ Igualar as expressões encontradas anteriormente (Visto que a questão nos contou que a Área e o Perímetro desse triângulo são equivalentes).

                 Área = Perímetro

                   $6c = a + c + 12$

                  $6c - c = a + 12$

                     $5c = a + 12$

Note que nós chegamos em uma relação de equivalência entre os lados dessa figura. Como o exercício quer o valor da sua hipotenusa eu vou isolar a mesma :

$5c = a + 12$ ➝ $a = 5c - 12$

• 3º Passo ➜ Aplicar o Teorema de Pitágoras

↳ Por que utilizar esse Teorema ?

1. Estamos trabalhando com um triângulo retângulo
2. Faltam dados para trabalharmos com as relações obtidas anteriormente

       $hip^{2} = cat^{2} + cat^{2}$

          $a^{2} = b^{2} + c^{2}$

       $(5c - 12)^{2} = 12^2 + c^2$

$(5c - 12)^2$ ➝ 2 Métodos Resolutivos

1. ↳ Fatoração (Quadrado da Diferença) : ''Quadrado do primeiro - 2 vezes primeiro vezes o segundo + Quadrado do segundo''
2. ↳ Propriedade Distributiva : ''Método do chuveirinho''

$(5c - 12)^2 = (5c)^2 - 2.5c.12 + 12^2$ ➜ $(5c - 12)^2 = 25c^2 - 120c + 144$

$25c^2 - 120c + 144 =$ $12^2 + c^2$

$25c^2 - 120c + 144 =$ $144 + c^2$

$25c^2 - c^2 - 120c + 144 - 144 = 0$

$24c^2 - 120c = 0$

• 4º Passo ➜ Resolver a Equação do 2º Grau que foi chegada.

➤ Equação Quadrática Incompleta :

↳ O que é ?

Uma equação quadrática é uma igualdade entre termos que tem como característica o fato de uma das suas variáveis (incógnitas) estar elevada ao expoente 2. Esse tipo de equação é definida de maneira genérica pela seguinte expressão :

$ax^2 + bx + c = 0$ , em que :

• a ➝ coeficiente que acompanha o x²
• b ➝ coeficiente que acompanha o x
• c ➝ termo independente

↳ Equação Incompleta ?

Uma equação do 2º grau pode ser incompleta quanto aos termos ''b'' e ''c''. Ou seja, em uma equação incompleta esses termos poderão ser nulos.

No caso do exercício note que não há nenhum termo sozinho na nossa equação, logo ela é incompleta em relação ao termo ''c''.

↳ Como Resolver ?

• Como ambos os coeficientes ''a'' e ''b'' compartilham da mesma incógnita é possível utilizar a técnica do Fator Comum em Evidência.

       $24c^2 - 120c = 0$

      $c.(24c - 120) = 0$

1. Observação : Em uma multiplicação cujo resultado seja igual a zero um dos seus fatores deve obrigatoriamente ser zero. Portanto :

       $c = 0$  ou  $24c - 120 = 0$

Veja que o resultado (c = 0) não convém pois ''c'' representa a medida de um dos lados do nosso triângulo e não tem como um segmento de lado medir 0 cm.

                 $24c - 120 = 0$

                   $24c = 120$

                    $c = \dfrac{120}{24}$ ⇔ $c = 5$ $cm$

• 5º Passo ➜ Utilizar a relação de equivalência para encontrar a hipotenusa.

       $a = 5c - 12$ ➝ $a = 5.5 - 12$ ⇔ $a = 25 - 12$ $= 13$ $cm$ (Alternativa A)

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